Contraste de hipótesis y tamaño muestral

**a) Con un nivel de significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo 320 Kw frente a que ha aumentado?** En primer lugar, identificamos los datos del problema y definimos las hipótesis del contraste. Se trata de un contraste sobre la media poblacional $\mu$ con desviación típica poblacional conocida (usamos la muestral como estimación, $\sigma = 80$): - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 320\text{ Kw}$. - Tamaño de la muestra: $n = 25$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 350\text{ Kw}$. - Desviación típica: $\sigma = 80\text{ Kw}$. Definimos las hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu = 320$ (El consumo se mantiene igual). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 320$ (El consumo ha aumentado). Estamos ante un **contraste unilateral derecho**. 💡 **Tip:** La hipótesis alternativa $H_1$ siempre indica lo que se quiere contrastar (en este caso, que el consumo "ha aumentado").

Para un nivel de significación $\alpha = 0,10$ (10%), buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 1 - 0,10 = 0,90.$$ Buscando en la tabla de la normal el valor más cercano a $0,90$, obtenemos: $$z_{\alpha} = 1,28.$$ La **región de aceptación** es el intervalo $(-\infty, 1,28]$ y la **región crítica** (de rechazo) es $(1,28, +\infty)$. 💡 **Tip:** En los contrastes unilaterales a la derecha, rechazamos la hipótesis nula si el estadístico de contraste es mayor que el valor crítico $z_{\alpha}$.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{obs}$ mediante la fórmula: $$Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{obs} = \frac{350 - 320}{80 / \sqrt{25}} = \frac{30}{80 / 5} = \frac{30}{16} = 1,875.$$ Comparamos el valor obtenido con el valor crítico: $$1,875 \gt 1,28$$ Como el valor del estadístico cae en la región crítica (es mayor que el valor crítico), **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta que el consumo medio sea 320 Kw; hay evidencia de que ha aumentado.}}$$

**b) Para estimar el consumo medio con un error menor de 6 Kw y con un nivel de confianza del 90%, ¿que número de viviendas es necesario considerar?** Para el apartado b, cambiamos a un problema de tamaño muestral para estimación por intervalo. Los datos son: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10$. - Error máximo admitido: $E \lt 6$. - Desviación típica: $\sigma = 80$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 90% de confianza: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,05 = 0,95.$$ Buscando en las tablas de la normal estándar, el valor para una probabilidad de $0,95$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,645.$$ 💡 **Tip:** El error de estimación en una media viene dado por $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Queremos que el error sea menor que 6: $$1,645 \cdot \frac{80}{\sqrt{n}} \lt 6$$ $$\frac{131,6}{\sqrt{n}} \lt 6 \implies \sqrt{n} \gt \frac{131,6}{6}$$ $$\sqrt{n} \gt 21,933...$$ $$n \gt (21,933...)^2 \implies n \gt 481,07$$ Como el número de viviendas debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error sea menor al propuesto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 482 \text{ viviendas}}$$