Estudio de solicitudes de acciones

**a) El periodo en que dichas solicitudes aumentan.** Para determinar el intervalo de crecimiento de la función $S(x)$, debemos calcular su primera derivada $S'(x)$ y estudiar su signo. La función aumenta en los intervalos donde $S'(x) > 0$. Calculamos la derivada de $S(x) = -x^2 + 45x + 900$: $$S'(x) = -2x + 45$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-2x + 45 = 0 \implies 2x = 45 \implies x = \frac{45}{2} = 22.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función nos da la pendiente de la recta tangente; si la pendiente es positiva, la función es creciente.

Como el tiempo $x$ no puede ser negativo, consideramos el dominio a partir de $x = 0$. Evaluamos el signo de $S'(x)$ antes y después del punto crítico $x = 22.5$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 22.5) & 22.5 & (22.5, +\infty)\\ \hline S'(x) & + & 0 & -\\ \hline S(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 22.5)$, si tomamos por ejemplo $x=1$: $S'(1) = -2(1) + 45 = 43 > 0$ (**creciente**). - En el intervalo $(22.5, +\infty)$, si tomamos por ejemplo $x=23$: $S'(23) = -2(23) + 45 = -1 < 0$ (**decreciente**). ✅ **Resultado (intervalo de aumento):** $$\boxed{\text{Las solicitudes aumentan durante los primeros } 22.5 \text{ días, es decir, en el intervalo } [0, 22.5)}$$

**b) ¿Alcanza algún máximo o mínimo relativo la función? Razona la respuesta.** Un extremo relativo ocurre donde la derivada es cero y hay un cambio de monotonía. Ya hemos visto que en $x = 22.5$ la función pasa de ser creciente a decreciente. Para justificarlo formalmente, usamos el criterio de la segunda derivada: $$S''(x) = -2$$ Como $S''(22.5) = -2 < 0$, confirmamos que en $x = 22.5$ existe un **máximo relativo**. Calculamos el valor del máximo sustituyendo en la función original: $$S(22.5) = -(22.5)^2 + 45(22.5) + 900$$ $$S(22.5) = -506.25 + 1012.5 + 900 = 1406.25$$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) < 0$ en un punto donde $f'(a)=0$, entonces existe un máximo relativo en $x=a$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Alcanza un máximo relativo en } x = 22.5 \text{ días con } 1406.25 \text{ solicitudes. No tiene mínimos relativos.}}$$

**c) ¿Cuántos días transcurren para que no haya solicitudes de compra?** Que no haya solicitudes significa que $S(x) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 45x + 900 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 45x - 900 = 0$. Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-45) \pm \sqrt{(-45)^2 - 4(1)(-900)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{45 \pm \sqrt{2025 + 3600}}{2} = \frac{45 \pm \sqrt{5625}}{2}$$ $$x = \frac{45 \pm 75}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{45 + 75}{2} = \frac{120}{2} = 60$ 2. $x_2 = \frac{45 - 75}{2} = \frac{-30}{2} = -15$ Dado que el tiempo $x$ representa días en el mercado, la solución negativa no tiene sentido físico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Transcurren } 60 \text{ días hasta que no hay solicitudes de compra.}}$$