Cálculo de área de un mural y presupuesto de pintura

**a) Representar la zona a pintar.** Para representar la zona, primero debemos analizar la función $f(x) = \frac{-x^2}{2} + 32$. Se trata de una parábola con las siguientes características: 1. **Orientación:** Como el coeficiente de $x^2$ es negativo ($a = -1/2$), la parábola está abierta hacia abajo (forma de montaña). 2. **Vértice:** Al no tener término en $x$, el vértice se encuentra en el eje Y ($x=0$). $$f(0) = \frac{-0^2}{2} + 32 = 32 \implies V(0, 32)$$ 3. **Corte con el eje OX (donde $y=0$):** Resolvemos la ecuación: $$0 = \frac{-x^2}{2} + 32 \implies \frac{x^2}{2} = 32 \implies x^2 = 64 \implies x = \pm \sqrt{64} = \pm 8$$ Los puntos de corte son **$(-8, 0)$** y **$(8, 0)$**. La zona a pintar es la región comprendida entre la parábola y el eje horizontal desde $x = -8$ hasta $x = 8$.

**b) Si cada spray cuesta 2 euros y sirve para pintar medio metro cuadrado, ¿Cuánto gastarán en pintura?** Primero calculamos el área de la región en decímetros cuadrados ($dm^2$) utilizando la integral definida. Puesto que la función es positiva en el intervalo $[-8, 8]$, el área coincide con la integral: $$A = \int_{-8}^{8} \left( \frac{-x^2}{2} + 32 \right) dx$$ Como la función es simétrica respecto al eje Y, podemos calcular el doble del área de $0$ a $8$ para simplificar: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{8} \left( \frac{-x^2}{2} + 32 \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( \frac{-x^2}{2} + 32 \right) dx = \frac{-x^3}{2 \cdot 3} + 32x = -\frac{x^3}{6} + 32x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = 2 \cdot \left[ -\frac{x^3}{6} + 32x \right]_{0}^{8} = 2 \cdot \left( \left( -\frac{8^3}{6} + 32 \cdot 8 \right) - (0) \right)$$ $$A = 2 \cdot \left( -\frac{512}{6} + 256 \right) = 2 \cdot \left( -\frac{256}{3} + \frac{768}{3} \right) = 2 \cdot \frac{512}{3} = \frac{1024}{3} \approx 341.33 \text{ dm}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área bajo la curva $f(x)$ entre $a$ y $b$ se calcula como $F(b) - F(a)$, donde $F$ es la primitiva de $f$. $$\boxed{A = \frac{1024}{3} \approx 341.33 \text{ dm}^2}$$

Para calcular el coste, necesitamos pasar el área a metros cuadrados ($m^2$), ya que el rendimiento del spray viene en esa unidad. Sabemos que $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$. Por tanto: $$Area \text{ en } m^2 = \frac{1024/3}{100} = \frac{10.24}{3} \approx 3.4133 \text{ m}^2$$ Cada spray sirve para pintar $0.5 \text{ m}^2$. Calculamos el número de botes necesarios: $$\text{Botes} = \frac{3.4133 \text{ m}^2}{0.5 \text{ m}^2/\text{bote}} = 6.8266 \text{ botes}$$ Como no podemos comprar una fracción de spray, debemos comprar **7 botes** para terminar el mural. El coste total será: $$\text{Coste} = 7 \text{ botes} \cdot 2 \text{ €/bote} = 14 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real donde hay que comprar unidades enteras (como botes de pintura o sprays), siempre debemos redondear al entero superior si el resultado tiene decimales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Gastarán 14 euros en pintura}}$$