Sistema de ecuaciones: Inventario de teléfonos móviles

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos encontrar: - $x$: número de teléfonos de tipo A. - $y$: número de teléfonos de tipo B. - $z$: número de teléfonos de tipo C. Traducimos la primera frase del enunciado: "En una tienda hay un total de 150 teléfonos móviles": $$x + y + z = 150$$ 💡 **Tip:** En los problemas de sistemas, el primer paso fundamental es identificar qué representa cada variable y anotar sus unidades (en este caso, unidades de teléfonos).

Ahora planteamos las relaciones entre los tipos de teléfonos: 1. "El número de los del tipo C duplica la suma de los de otros dos tipos": $$z = 2(x + y)$$ 2. "El número de los de tipo A es igual a la quinta parte de los de tipo C": $$x = \frac{1}{5}z$$ Para que el sistema sea más fácil de resolver, operamos y ordenamos estas ecuaciones: - De la primera relación: $z = 2x + 2y \implies 2x + 2y - z = 0$ - De la segunda relación: $5x = z \implies 5x - z = 0$

Agrupamos todas las ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$ \begin{cases} x + y + z = 150 \\ 2x + 2y - z = 0 \\ 5x - z = 0 \end{cases} $$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 150 \\ 2x + 2y - z = 0 \\ 5x - z = 0 \end{cases}}$$

**b) Determinar el número de teléfonos móviles de cada tipo que hay en la tienda.** Dado que la tercera ecuación es muy sencilla ($z = 5x$), utilizaremos el **método de sustitución**. Sustituimos $z$ en las otras dos ecuaciones: 1. $x + y + (5x) = 150 \implies 6x + y = 150$ 2. $2x + 2y - (5x) = 0 \implies -3x + 2y = 0$ Ahora resolvemos este sistema reducido de dos ecuaciones. De la segunda ecuación despejamos $y$: $$2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$$ Sustituimos este valor de $y$ en la ecuación $6x + y = 150$: $$6x + \frac{3}{2}x = 150$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$12x + 3x = 300 \implies 15x = 300 \implies x = \frac{300}{15} = 20$$ 💡 **Tip:** Si el sistema tiene ecuaciones donde una variable ya está casi despejada, la sustitución suele ser más rápida que Gauss o Cramer.

Una vez hallado $x = 20$, calculamos los valores de $y$ y $z$: - Para $y$: $y = \frac{3}{2}(20) = 30$ teléfonos de tipo B. - Para $z$: $z = 5(20) = 100$ teléfonos de tipo C. **Comprobación:** - Total: $20 + 30 + 100 = 150$ (Correcto). - Relación C: $100 = 2(20 + 30) = 2(50) = 100$ (Correcto). - Relación A: $20 = \frac{1}{5}(100) = 20$ (Correcto). ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Tipo A: 20 teléfonos, Tipo B: 30 teléfonos, Tipo C: 100 teléfonos}}$$