Aproximación de la distribución Binomial por la Normal

**a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos?** Primero, definimos la variable aleatoria que modela el problema: $X =$ "número de jóvenes que tienen consola de videojuegos de entre los 800 alumnos". Se trata de un experimento donde cada alumno tiene una probabilidad fija de tener consola ($p = 0,60$) o no tenerla ($q = 1 - 0,60 = 0,40$). Como los alumnos son independientes entre sí y el número de ensayos es fijo ($n = 800$), la variable sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) = B(800, 0,60)$$ El número esperado de alumnos (la esperanza o media) se calcula con la fórmula: $$E[X] = n \cdot p$$ Sustituimos los valores: $$E[X] = 800 \cdot 0,60 = 480$$ 💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, la media o esperanza matemática representa el valor que "esperamos" obtener en promedio y se calcula simplemente multiplicando el número de individuos por la probabilidad de éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{480 \text{ alumnos}}$$

Para los apartados b) y c), calcular probabilidades con una binomial de $n = 800$ es muy complejo. Comprobamos si podemos aproximar a una **distribución Normal**. Las condiciones son: 1. $n \cdot p \ge 5 \implies 800 \cdot 0,6 = 480 \ge 5$ (Se cumple) 2. $n \cdot q \ge 5 \implies 800 \cdot 0,4 = 320 \ge 5$ (Se cumple) Calculamos los parámetros de la normal $N(\mu, \sigma)$: - Media ($\mu$): $\mu = n \cdot p = 480$ - Desviación típica ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{800 \cdot 0,6 \cdot 0,4} = \sqrt{192} \approx 13,86$ Por tanto, podemos aproximar la variable discreta $X$ por una variable continua $X' \sim N(480; 13,86)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates** (sumar o restar $0,5$ al valor límite).

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos?** Queremos calcular $P(X \gt 500)$. Al aplicar la corrección de continuidad para el intervalo "estrictamente mayor que 500", tomamos el valor a partir de $500,5$: $$P(X \gt 500) \approx P(X' \ge 500,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{500,5 - 480}{13,86}\right) = P\left(Z \ge \frac{20,5}{13,86}\right) = P(Z \ge 1,48)$$ Como la tabla solo nos da valores de $P(Z \le k)$, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \ge 1,48) = 1 - P(Z \lt 1,48)$$ Buscamos en la tabla $1,4$ en la columna y $0,08$ en la fila, obteniendo $0,9306$: $$1 - 0,9306 = 0,0694$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 500) = 0,0694 \text{ (o } 6,94\% \text{)}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "normal", "latex": "f(x) = \\frac{1}{13.86\\sqrt{2\\pi}} e^{-0.5\\left(\\frac{x-480}{13.86}\\right)^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{x \\ge 500.5\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 430, "right": 540, "bottom": -0.01, "top": 0.04 } } }

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y 500?** Queremos calcular $P(470 \le X \le 500)$. Aplicamos la corrección de continuidad para incluir ambos extremos: $$P(469,5 \le X' \le 500,5)$$ Tipificamos ambos valores: $$P\left(\frac{469,5 - 480}{13,86} \le Z \le \frac{500,5 - 480}{13,86}\right)$$ $$P(-0,76 \le Z \le 1,48)$$ Desglosamos la probabilidad del intervalo: $$P(Z \le 1,48) - P(Z \le -0,76)$$ Para el valor negativo, usamos la simetría de la normal: $P(Z \le -0,76) = 1 - P(Z \le 0,76)$: $$P(Z \le 1,48) - [1 - P(Z \le 0,76)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1,48) = 0,9306$ - $P(Z \le 0,76) = 0,7764$ Sustituimos: $$0,9306 - (1 - 0,7764) = 0,9306 - 0,2236 = 0,707$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(470 \le X \le 500) = 0,707 \text{ (o } 70,7\% \text{)}}$$