Estimación de la proporción de abandonos en medicina

**a) Estimar la proporción de abandonos durante los tres primeros años en la población de estudiantes de medicina con una confianza del 95%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 225$ - Número de estudiantes que abandonan: $x = 32$ Calculamos la proporción muestral de abandonos ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{32}{225} \approx 0.1422$$ Por tanto, la proporción de estudiantes que no abandonan en la muestra es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.1422 = 0.8578$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, trabajamos con la proporción de éxito $\hat{p}$ y su complementario $\hat{q} = 1 - \hat{p}$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - 0.025 = 0.975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, encontramos que: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más habituales son $1.645$ para el $90\%$, $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.1422 \cdot 0.8578}{225}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0005422} \approx 1.96 \cdot 0.02328 \approx 0.0456$$ El intervalo de confianza se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.1422 - 0.0456 = 0.0966$ - Límite superior: $0.1422 + 0.0456 = 0.1878$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.0966, \; 0.1878)}$$ Esto significa que, con una confianza del $95\%$, la proporción poblacional de abandonos está entre el $9.66\%$ y el $18.78\%$.

**b) Suponiendo que aún no se ha tomado la muestra y que queremos hacer la estimación cometiendo un error menor del 3%, con un nivel de confianza del 95% ¿de que tamaño debería ser dicha muestra?** El enunciado indica que **aún no se ha tomado la muestra**. Cuando no tenemos información previa sobre la proporción $\hat{p}$, nos ponemos en el **caso más desfavorable** (máxima varianza), que ocurre cuando: $$p = q = 0.5$$ Los datos para este apartado son: - Error máximo: $E \lt 0.03$ - Confianza $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Proporción conservadora: $p = 0.5$ 💡 **Tip:** Si el enunciado no da una proporción previa y pide el tamaño de la muestra, usa siempre $p=0.5$ para garantizar que el tamaño sea suficiente para cualquier resultado.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{p \cdot q}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{1.96^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.03^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.25}{0.0009} = \frac{0.9604}{0.0009} \approx 1067.11$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos que el error sea **menor** que el $3\%$, siempre debemos redondear hacia arriba al entero más cercano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1068 \text{ estudiantes}}$$