Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Si $\alpha = 0.05$, ¿se puede aceptar la afirmación anterior?** Primero, extraemos los datos del enunciado para realizar un contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional $p$: - Proporción afirmada (hipótesis): $p_0 = 0.35$ - Tamaño de la muestra: $n = 900$ - Casos a favor en la muestra: $x = 300$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{300}{900} = \dfrac{1}{3} \approx 0.3333$ Planteamos las hipótesis. Como la afirmación es "al menos el 35%" ($p \ge 0.35$), realizaremos un **contraste unilateral a la izquierda**: $$H_0: p \ge 0.35 \quad \text{(La afirmación es cierta)}$$ $$H_1: p \lt 0.35 \quad \text{(La proporción es menor)}$$ 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, $H_0$ (hipótesis nula) suele contener la igualdad o la afirmación que queremos verificar si no hay pruebas suficientes en contra.

Para muestras grandes ($n \cdot p_0 \gt 5$ y $n \cdot q_0 \gt 5$), el estadístico de contraste sigue una distribución normal $N(0,1)$ y se calcula con la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Calculamos el error típico (denominador) con $q_0 = 1 - p_0 = 0.65$: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{900}} = \sqrt{\frac{0.2275}{900}} = \sqrt{0.0002527} \approx 0.0159$$ Ahora calculamos el valor observado de $Z$ ($Z_{obs}$): $$Z_{obs} = \frac{0.3333 - 0.35}{0.0159} = \frac{-0.0167}{0.0159} \approx -1.05$$ 💡 **Tip:** El estadístico $Z$ nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro resultado muestral del valor teórico de la hipótesis.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$z_{0.05} = -1.645$$ La **región de rechazo** (o crítica) es el intervalo $(-\infty, -1.645)$. **Comparación:** Como $Z_{obs} = -1.05$ y $-1.05 \gt -1.645$, el valor **no cae en la región de rechazo**. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede aceptar la afirmación con } \alpha = 0.05}$$ 💡 **Tip:** Si el valor experimental no entra en la "zona de peligro" (región crítica), mantenemos la hipótesis nula como válida.

**b) ¿Se obtiene la misma conclusión si $\alpha = 0.1$?** Repetimos el proceso para el nuevo nivel de significación $\alpha = 0.1$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.10$: $$z_{0.1} = -1.28$$ La **región de rechazo** ahora es el intervalo $(-\infty, -1.28)$. **Comparación:** Nuestro estadístico calculado anteriormente era $Z_{obs} = -1.05$. Observamos que $-1.05 \gt -1.28$, por lo que el valor **sigue sin estar en la región de rechazo**. Conclusión: La proporción muestral obtenida (33.33%) no es lo suficientemente baja como para rechazar que la proporción poblacional sea de al menos el 35%, ni siquiera siendo menos estrictos con el nivel de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se obtiene la misma conclusión: se acepta la afirmación}}$$