Optimización del precio y volumen de compra

**a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año?** Para calcular la factura total, primero debemos determinar cuántas unidades $x$ se compraron el día $d = 74$ y, a continuación, el precio unitario $p$ para ese número de unidades. 1. **Calculamos el número de unidades $x(74)$:** $$x(74) = 74^2 - 300(74) + 25000$$ $$x(74) = 5476 - 22200 + 25000 = 8276 \text{ unidades}$$ 2. **Calculamos el precio unitario $p(8276)$:** $$p(8276) = 300 - \frac{8276}{200} = 300 - 41.38 = 258.62 \text{ €/unidad}$$ 3. **Calculamos el importe de la factura (Unidades $\cdot$ Precio):** $$\text{Factura} = x(74) \cdot p(x(74)) = 8276 \cdot 258.62 = 2140339.12 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** En problemas de funciones compuestas, sustituimos el valor en la función más interna y el resultado obtenido se introduce en la función externa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2140339.12 \text{ €}}$$

Para responder a los apartados b) y c), es conveniente expresar el precio $p$ directamente en función del día $d$. Para ello, realizamos la composición de funciones $P(d) = p(x(d))$: $$P(d) = 300 - \frac{d^2 - 300d + 25000}{200}$$ $$P(d) = 300 - \left( \frac{1}{200}d^2 - \frac{300}{200}d + \frac{25000}{200} \right)$$ $$P(d) = 300 - 0.005d^2 + 1.5d - 125$$ $$P(d) = -0.005d^2 + 1.5d + 175$$ Se trata de una función cuadrática (parábola) definida en el intervalo $[1, 365]$.

**b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es?** Para hallar el máximo de la función precio $P(d)$, calculamos su derivada y la igualamos a cero: $$P'(d) = -0.01d + 1.5$$ $$-0.01d + 1.5 = 0 \implies 0.01d = 1.5 \implies d = \frac{1.5}{0.01} = 150$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$P''(d) = -0.01$$ Como $P''(150) \lt 0$, se confirma que en **$d = 150$** hay un máximo relativo. Calculamos el valor del precio ese día: $$P(150) = -0.005(150)^2 + 1.5(150) + 175$$ $$P(150) = -112.5 + 225 + 175 = 287.5$$ 💡 **Tip:** El vértice de una parábola $y = ax^2 + bx + c$ se encuentra en $x = -b/2a$. En este caso $d = -1.5 / (2 \cdot (-0.005)) = 150$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El día 150 se paga el mayor precio, que es de 287.5 €}}$$

**c) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es?** Al ser una parábola abierta hacia abajo con el vértice en $d=150$, el mínimo absoluto en el intervalo $[1, 365]$ debe estar en uno de los extremos del dominio. Evaluamos la función en los extremos: - Para **$d = 1$**: $$P(1) = -0.005(1)^2 + 1.5(1) + 175 = 176.495 \text{ €}$$ - Para **$d = 365$**: $$P(365) = -0.005(365)^2 + 1.5(365) + 175$$ $$P(365) = -0.005(133225) + 547.5 + 175 = -666.125 + 722.5 = 56.375 \text{ €}$$ Comparamos los valores: $56.375 \lt 176.495$. Estudio de la monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} d & (1,150) & 150 & (150,365)\\ \hline P'(d) & + & 0 & -\\ P(d) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El día 365 se paga el menor precio, que es de 56.375 €}}$$