Optimización de mezcla dietética

**a) Representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: cantidad en gramos del producto A. - $y$: cantidad en gramos del producto B. A partir del enunciado, establecemos las restricciones (inecuaciones): 1. La cantidad de B no supera a la de A: $y \le x$. 2. La mezcla total no supera los 200 g: $x + y \le 200$. 3. La cantidad de A no supera los 150 g: $x \le 150$. 4. Además, las cantidades no pueden ser negativas (restricciones de no negatividad): $x \ge 0, y \ge 0$. 💡 **Tip:** En problemas de mezclas, siempre debemos añadir $x \ge 0$ e $y \ge 0$ aunque no lo diga explícitamente el texto, ya que no existen cantidades negativas de productos. El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} y \le x \\ x + y \le 200 \\ x \le 150 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$

Para representar la región, calculamos los puntos de corte de las rectas que limitan el recinto: - **Recta $r_1$ ($y = x$):** Pasa por $(0,0)$ y $(100,100)$. - **Recta $r_2$ ($x + y = 200$):** Si $x=0 \implies y=200$; si $y=0 \implies x=200$. Pasa por $(0,200)$ y $(200,0)$. - **Recta $r_3$ ($x = 150$):** Recta vertical que pasa por $x=150$. Hallamos los vértices resolviendo los sistemas: - **Vértice O:** Intersección de $x=0$ e $y=0 \implies \mathbf{(0, 0)}$. - **Vértice A:** Intersección de $y=0$ y $x=150 \implies \mathbf{(150, 0)}$. - **Vértice B:** Intersección de $x=150$ y $x+y=200$. Sustituyendo $x$: $150+y=200 \implies y=50 \implies \mathbf{(150, 50)}$. - **Vértice C:** Intersección de $x+y=200$ e $y=x$. Sustituyendo $y$: $x+x=200 \implies 2x=200 \implies x=100, y=100 \implies \mathbf{(100, 100)}$. 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos "esquina" de nuestra región sombreada. Son fundamentales porque el máximo siempre se encontrará en uno de ellos (o en un segmento que los una).

Dibujamos las rectas y sombreamos la región que cumple todas las desigualdades simultáneamente. - El semiplano $y \le x$ es la zona por debajo de la diagonal. - El semiplano $x + y \le 200$ es la zona por debajo de la recta descendente. - El semiplano $x \le 150$ es la zona a la izquierda de la vertical. La región factible es el polígono de vértices **$(0,0), (150,0), (150,50)$ y $(100,100)$**.

**b) ¿Cuántos gramos de cada producto hay que incluir en la mezcla para maximizar su contenido vitamínico?** Queremos maximizar la cantidad total de vitaminas. Según los datos del enunciado (0.4 g por gramo de A y 0.3 g por gramo de B), la función objetivo es: $$f(x, y) = 0.4x + 0.3y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $x$ e $y$ son gramos de producto, y los coeficientes $0.4$ y $0.3$ son la concentración de vitaminas. El resultado $f(x,y)$ nos dará los gramos totales de vitaminas.

Para encontrar el máximo, evaluamos la función $f(x, y) = 0.4x + 0.3y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - $f(0, 0) = 0.4(0) + 0.3(0) = 0$ g de vitaminas. - $f(150, 0) = 0.4(150) + 0.3(0) = 60$ g de vitaminas. - $f(150, 50) = 0.4(150) + 0.3(50) = 60 + 15 = 75$ g de vitaminas. - $f(100, 100) = 0.4(100) + 0.3(100) = 40 + 30 = 70$ g de vitaminas. El valor máximo es **75 gramos** y se alcanza en el punto $(150, 50)$. Por tanto, para maximizar el contenido vitamínico, se deben utilizar 150 gramos del producto A y 50 gramos del producto B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{150 g de A y 50 g de B}}$$