Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Si $\alpha = 0.05$, ¿podemos aceptar que la proporción de personas que leen dicho periódico sigue siendo del 35% frente a que ha disminuido?** En primer lugar, identificamos los datos del problema y definimos las hipótesis del contraste. Queremos contrastar si la proporción actual ($p$) es igual a la histórica ($p_0 = 0.35$) o si ha disminuido. * **Proporción poblacional bajo la hipótesis nula:** $p_0 = 0.35$ (entonces $q_0 = 1 - 0.35 = 0.65$) * **Tamaño de la muestra:** $n = 225$ * **Nivel de significación:** $\alpha = 0.05$ Planteamos las hipótesis: * **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0.35$ (La proporción se mantiene o es mayor). * **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.35$ (La proporción ha disminuido). Estamos ante un **contraste unilateral izquierdo**. 💡 **Tip:** La hipótesis alternativa $H_1$ siempre contiene la sospecha o lo que queremos comprobar (en este caso, que la proporción "ha disminuido").

Para muestras grandes ($n \gt 30$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal. Comprobamos las condiciones: * $n \cdot p_0 = 225 \cdot 0.35 = 78.75 \gt 5$ * $n \cdot q_0 = 225 \cdot 0.65 = 146.25 \gt 5$ Por tanto, podemos aproximar por una normal: $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica del estadístico (error estándar): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{225}} = \sqrt{\frac{0.2275}{225}} = \frac{0.47697}{15} \approx 0.0318$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para proporciones, la desviación típica depende del valor de $p$ bajo la hipótesis nula.

Calculamos la proporción observada en nuestra muestra: $$\hat{p} = \frac{65}{225} \approx 0.2889$$ Ahora calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ (tipificación): $$z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.2889 - 0.35}{0.0318}$$ $$z_{obs} = \frac{-0.0611}{0.0318} \approx -1.921$$ Este valor nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra muestra del valor teórico esperado si $H_0$ fuera cierta.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$-z_{0.05} = -1.645$$ **Región de rechazo:** $(-\infty, -1.645)$ **Región de aceptación:** $[-1.645, +\infty)$ Como nuestro valor experimental $z_{obs} = -1.921$ es menor que $-1.645$ (cae en la zona de rechazo): $$-1.921 \lt -1.645 \implies \text{Rechazamos } H_0$$ ✅ **Conclusión a):** Al nivel del 5%, **no podemos aceptar que la proporción siga siendo del 35%**, hay evidencias suficientes para afirmar que ha disminuido. $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0 \text{ para } \alpha = 0.05}$$

**b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación es del 1%?** Cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.01$. Ahora buscamos el nuevo valor crítico $-z_{0.01}$: $$P(Z \lt -z_{0.01}) = 0.01 \implies -z_{0.01} = -2.33$$ El estadístico de contraste sigue siendo el mismo: $z_{obs} = -1.921$. Comparamos con el nuevo valor crítico: $$-1.921 \gt -2.33$$ En este caso, el valor experimental cae dentro de la **región de aceptación** (zona blanca del gráfico inferior). ✅ **Conclusión b):** No se concluiría lo mismo. Al ser más exigentes con el nivel de error (1%), no hay evidencia estadística suficiente para rechazar que la proporción sea del 35%. $$\boxed{\text{No se rechaza } H_0 \text{ para } \alpha = 0.01}$$