Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error

**a) Hallar un intervalo de confianza para $\mu$ con $\alpha = 0.02$** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Población: $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 10)$, por lo que la desviación típica poblacional es $\sigma = 10$. - Tamaño de la muestra: $n = 121$. - Media muestral: $\bar{x} = 70$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.02$. Calculamos el nivel de confianza $(1 - \alpha)$: $$1 - \alpha = 1 - 0.02 = 0.98 \text{ (es decir, un } 98\%\text{)}$$ Para construir el intervalo, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Este valor cumple que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.02}{2} = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor que corresponde a una probabilidad de $0.99$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación. Para $0.99$, el valor suele fijarse en $2.33$ o $2.326$.

El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.33 \cdot \frac{10}{\sqrt{121}} = 2.33 \cdot \frac{10}{11} \approx 2.33 \cdot 0.9091 = 2.1182$$ El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (70 - 2.1182, \; 70 + 2.1182) = (67.8818, \; 72.1182)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (67.88, \; 72.12)}$$

**b) Con la anterior muestra, ¿cuánto valdría $\alpha$ para estimar $\mu$ con un error inferior a 2 pulsaciones por minuto?** En este apartado, nos piden encontrar $\alpha$ sabiendo que el error $E$ debe ser menor que 2. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Sustituimos los datos de la muestra ($n=121$, $\sigma=10$): $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{10}{\sqrt{121}} \lt 2$$ $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{10}{11} \lt 2$$ Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} \lt \frac{2 \cdot 11}{10} = \frac{22}{10} = 2.2$$ 💡 **Tip:** El error es directamente proporcional al valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si queremos reducir el error, debemos reducir la confianza (aumentar $\alpha$).

Ahora que sabemos que $z_{\alpha/2} = 2.2$, buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ la probabilidad asociada: $$P(Z \le 2.2) = 0.9861$$ Sabemos por definición que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ Igualamos ambos valores para despejar $\alpha$: $$0.9861 = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0.9861 = 0.0139$$ $$\alpha = 0.0139 \cdot 2 = 0.0278$$ Para que el error sea **inferior** a 2, el valor de $z_{\alpha/2}$ debe ser menor de $2.2$, lo que implica que la probabilidad acumulada debe ser menor, y por tanto $\alpha$ debe ser mayor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \gt 0.0278}$$