Área de un cristal limitado por una parábola y una recta

**a) Dibujar el cristal.** Para representar la región, primero debemos identificar las funciones que limitan el cristal: 1. $y = 2$: Es una **recta horizontal** paralela al eje $X$. 2. $f(x) = -(x-2)^2 + 6$: Es una **parábola** con las ramas hacia abajo (el coeficiente de $x^2$ es negativo). Calculamos los puntos de corte entre ambas funciones igualándolas: $$-(x-2)^2 + 6 = 2$$ $$-(x-2)^2 = 2 - 6$$ $$-(x-2)^2 = -4$$ $$(x-2)^2 = 4$$ Al extraer la raíz cuadrada obtenemos dos soluciones: $x - 2 = \pm \sqrt{4} \implies x - 2 = \pm 2$ - Si $x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$ - Si $x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área más adelante y son fundamentales para el dibujo. Los puntos de intersección son $(0, 2)$ y $(4, 2)$.

Para dibujar la parábola $f(x) = -(x-2)^2 + 6$, observamos que: - El **vértice** se encuentra en el punto $(2, 6)$, ya que la expresión está en forma canónica $a(x-h)^2 + k$. - Corta al eje $Y$ en $f(0) = -(0-2)^2 + 6 = -4 + 6 = 2$. - Corta al eje $X$ cuando $-(x-2)^2 + 6 = 0$, es decir, $x = 2 \pm \sqrt{6}$ (aproximadamente $4.45$ y $-0.45$). El cristal es la región encerrada entre la parábola (por arriba) y la recta $y=2$ (por abajo). **Representación interactiva:**

**b) Si se mide en decímetros, ¿qué superficie tiene?** El área $S$ de la superficie se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior, entre los puntos de corte hallados anteriormente ($x=0$ y $x=4$): $$S = \int_{0}^{4} [f(x) - g(x)] \, dx$$ $$S = \int_{0}^{4} [(-(x-2)^2 + 6) - 2] \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$-(x-2)^2 + 4 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x - 4 + 4 = -x^2 + 4x$$ Por tanto: $$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre se calcula como $\int (\text{función arriba} - \text{función abajo})$. En este intervalo, la parábola está por encima de la recta.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $4$: $$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=4$): $$F(4) = -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) = -\frac{64}{3} + 2(16) = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -\frac{0^3}{3} + 2(0^2) = 0$$ Restamos los resultados: $$S = \frac{32}{3} - 0 = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ dm}^2$$ 💡 **Tip:** Al ser una medida de superficie y darnos el enunciado que se mide en decímetros, el resultado final debe expresarse en $\text{dm}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S = \frac{32}{3} \text{ dm}^2 \approx 10.67 \text{ dm}^2}$$