Análisis de ganancias de una empresa

**a) ¿Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? ¿Y al cuarto año?** Para resolver este apartado, debemos identificar en qué rama de la función se encuentra cada valor de $x$ (tiempo en años). 1. **Año y medio ($x = 1.5$):** Como $0 \le 1.5 \le 3$, utilizamos la primera rama: $f(x) = \frac{1}{2}x$. $$f(1.5) = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75 \text{ cientos de miles de euros}$$ Para pasar a euros: $0.75 \cdot 100,000 = 75,000 \text{ €}$. 2. **Cuarto año ($x = 4$):** Como $4 \gt 3$, utilizamos la segunda rama: $f(x) = \frac{x+3}{x+1}$. $$f(4) = \frac{4+3}{4+1} = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ cientos de miles de euros}$$ Para pasar a euros: $1.4 \cdot 100,000 = 140,000 \text{ €}$. 💡 **Tip:** Presta mucha atención a las unidades del enunciado. El resultado de la función está en "cientos de miles", por lo que debemos multiplicar por $100,000$ para dar la respuesta en euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al año y medio gana } 75,000 \text{ € e al cuarto año } 140,000 \text{ €}}$$

**b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada de la función $f(x)$ en cada tramo: 1. **Primer tramo ($0 \lt x \lt 3$):** $$f'(x) = \left( \frac{1}{2}x \right)' = \frac{1}{2}$$ Como $f'(x) = 0.5 \gt 0$, la función es **creciente** en el intervalo $(0, 3)$. 2. **Segundo tramo ($x \gt 3$):** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+3) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-3}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2}$$ Como el numerador es negativo ($-2$) y el denominador $(x+1)^2$ siempre es positivo para $x \gt 3$, entonces $f'(x) \lt 0$. La función es **decreciente** en el intervalo $(3, +\infty)$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|cc} x & (0, 3) & (3, +\infty) \\\hline f'(x) & + & - \\\hline f(x) & \nearrow & \searrow \end{array}$$ Nota: La función es continua en $x=3$ ya que $f(3) = 1.5$ y $\lim_{x\to 3^+} \frac{3+3}{3+1} = 1.5$. Por tanto, el cambio de tendencia es suave. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 3) \text{ y decreciente en } (3, +\infty)}$$

**c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.** Para saber qué ocurre a largo plazo, debemos calcular el límite de la función cuando el tiempo $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$). En este caso, usamos la segunda rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x+1}$$ Como es un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{x+1} = \frac{1}{1} = 1$$ Esto significa que, a medida que pasan los años, las ganancias de la empresa tienden a estabilizarse en $1$ cien mil euros. 💡 **Tip:** El límite en el infinito nos indica la existencia de una asíntota horizontal. En este contexto, representa el valor de equilibrio o madurez de la empresa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias tienden a estabilizarse en } 100,000 \text{ € a largo plazo.}}$$

Para comprender mejor el comportamiento de la empresa, representamos la función. Se observa el crecimiento lineal inicial, el máximo en $x=3$ y el posterior decrecimiento hacia la asíntota horizontal $y=1$.