Problema de compra de legumbres: Sistema de ecuaciones lineales

Para resolver este problema, primero debemos identificar qué es lo que nos preguntan y asignar una variable a cada incógnita: - Sean $x$ los kilos de garbanzos comprados. - Sean $y$ los kilos de alubias comprados. - Sean $z$ los kilos de lentejas comprados. A partir del enunciado, extraemos las siguientes tres condiciones para formar un sistema de ecuaciones: 1. **Total de kilos:** La suma de los pesos de las tres legumbres es de $45\text{ kg}$. $$x + y + z = 45$$ 2. **Coste total:** El precio total pagado es de $43\text{ €}$, multiplicando cada cantidad por su precio unitario ($1,30$, $1,20$ y $0,80$ respectivamente). $$1,30x + 1,20y + 0,80z = 43$$ 3. **Relación entre pesos:** El peso de las lentejas ($z$) es el doble de la suma de garbanzos ($x$) y alubias ($y$). $$z = 2(x + y)$$ 💡 **Tip:** En este tipo de problemas, es fundamental que el número de ecuaciones coincida con el número de incógnitas para poder encontrar una solución única.

Escribimos el sistema de forma estándar para facilitar su resolución: $$\begin{cases} x + y + z = 45 & (1) \\ 1,3x + 1,2y + 0,8z = 43 & (2) \\ 2x + 2y - z = 0 & (3) \end{cases}$$ Podemos simplificar la ecuación $(3)$ despejando una de las variables o utilizando la relación directa $z = 2(x + y)$ para sustituirla en las demás, que es el camino más rápido en este caso.

Sustituimos la relación de la ecuación (3), $x + y = \frac{z}{2}$, en la primera ecuación: $$(x + y) + z = 45 \implies \frac{z}{2} + z = 45$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$z + 2z = 90$$ $$3z = 90 \implies z = \frac{90}{3} = 30$$ Ya sabemos que ha comprado **30 kilos de lentejas**. Ahora, sustituimos $z = 30$ en las ecuaciones (1) y (2) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} x + y + 30 = 45 \implies x + y = 15 \\ 1,3x + 1,2y + 0,8(30) = 43 \implies 1,3x + 1,2y + 24 = 43 \end{cases}$$ Simplificamos la segunda: $$1,3x + 1,2y = 43 - 24 \implies 1,3x + 1,2y = 19$$ 💡 **Tip:** Al sustituir una incógnita ya hallada, el sistema se reduce y se vuelve mucho más sencillo de manejar.

Resolvemos el sistema de dos variables: 1. $x + y = 15 \implies y = 15 - x$ 2. $1,3x + 1,2y = 19$ Sustituimos la expresión de $y$ en la segunda ecuación: $$1,3x + 1,2(15 - x) = 19$$ $$1,3x + 18 - 1,2x = 19$$ $$0,1x = 19 - 18$$ $$0,1x = 1 \implies x = \frac{1}{0,1} = 10$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 15 - 10 = 5$$ ✅ **Resultados obtenidos:** - Garbanzos ($x$): $10\text{ kg}$ - Alubias ($y$): $5\text{ kg}$ - Lentejas ($z$): $30\text{ kg}$

Presentamos la solución detallada de las cantidades compradas por el agricultor: - Cantidad de garbanzos: **10 kg** - Cantidad de alubias: **5 kg** - Cantidad de lentejas: **30 kg** **Comprobación:** - Peso total: $10 + 5 + 30 = 45\text{ kg}$ (Correcto). - Coste total: $10 \cdot 1,30 + 5 \cdot 1,20 + 30 \cdot 0,80 = 13 + 6 + 24 = 43\text{ €}$ (Correcto). - Relación de pesos: $30 = 2 \cdot (10 + 5) = 2 \cdot 15$ (Correcto). $$\boxed{\text{Garbanzos: 10 kg, Alubias: 5 kg, Lentejas: 30 kg}}$$