Aproximación de la Binomial a la Normal: Proporciones de Accidentados

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de mujeres accidentadas supere el 24%?** Primero, definimos los parámetros del problema: - Tamaño de la muestra (accidentes): $n = 169$ - Probabilidad de que una persona accidentada sea mujer: $p = \frac{1}{5} = 0.2$ - Probabilidad de que sea hombre: $q = 1 - p = 0.8$ La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de mujeres accidentadas sigue una distribución Binomial $X \sim B(169, 0.2)$. Para trabajar con proporciones, sabemos que la proporción muestral $\hat{p} = \frac{X}{n}$ se puede aproximar por una distribución Normal si se cumplen ciertas condiciones: 1. $n \cdot p = 169 \cdot 0.2 = 33.8 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 169 \cdot 0.8 = 135.2 \gt 5$ Como se cumplen, la proporción de mujeres $\hat{p}$ sigue una distribución Normal: $$\hat{p} \sim N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la proporción: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.2 \cdot 0.8}{169}} = \sqrt{\frac{0.16}{169}} = \frac{0.4}{13} \approx 0.0308$$ Por tanto, $\hat{p} \sim N(0.2, 0.0308)$. 💡 **Tip:** Cuando $n$ es grande, es mucho más sencillo trabajar con la aproximación Normal que con la Binomial, ya que el cálculo de probabilidades acumuladas es más directo mediante la tipificación.

Queremos calcular la probabilidad de que la proporción supere el $24\%$, es decir, $P(\hat{p} \gt 0.24)$. Tipificamos la variable para usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.24 - 0.2}{0.0308} = \frac{0.04}{0.0308} \approx 1.30$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(\hat{p} \gt 0.24) = P(Z \gt 1.30) = 1 - P(Z \le 1.30)$$ Buscamos en la tabla de la normal el valor para $1.30$, que es $0.9032$: $$P(\hat{p} \gt 0.24) = 1 - 0.9032 = 0.0968$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(\text{Prop. mujeres} \gt 0.24) = 0.0968}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$ porque el área total bajo la curva normal es $1$.

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de hombres accidentados supere el 85%?** Definimos la proporción de hombres como $\hat{q}$. Sus parámetros son: - Media: $q = 0.8$ - Desviación típica: $\sigma_{\hat{q}} = \sigma_{\hat{p}} = 0.0308$ Buscamos $P(\hat{q} \gt 0.85)$. Tipificamos: $$Z = \frac{\hat{q} - q}{\sigma_{\hat{q}}} = \frac{0.85 - 0.8}{0.0308} = \frac{0.05}{0.0308} \approx 1.62$$ Calculamos la probabilidad: $$P(\hat{q} \gt 0.85) = P(Z \gt 1.62) = 1 - P(Z \le 1.62)$$ Buscamos en la tabla el valor para $1.62$, que es $0.9474$: $$P(\hat{q} \gt 0.85) = 1 - 0.9474 = 0.0526$$ (Nota: Si se usa el valor más preciso $1.623...$ o interpolación, el resultado puede variar ligeramente, pero $0.0526$ es el estándar usando tablas de dos decimales). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(\text{Prop. hombres} \gt 0.85) = 0.0526}$$

**c) ¿cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana?** El "número esperado" en una distribución de probabilidad es la **esperanza matemática** (o media). Para una variable Binomial $Y$ que cuenta el número de hombres, donde $n = 169$ y la probabilidad de ser hombre es $q = 0.8$: $$E[Y] = n \cdot q$$ Sustituimos los valores: $$E[Y] = 169 \cdot 0.8 = 135.2$$ Por término medio, se esperan aproximadamente $135$ hombres accidentados. 💡 **Tip:** El número esperado es simplemente el promedio teórico. Aunque no pueda haber "0.2" personas, se deja el valor decimal como resultado estadístico. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{135.2 \text{ hombres}}$$