Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Elegidos 400 varones, se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida?** En primer lugar, definimos los parámetros del contraste de hipótesis para la proporción de varones daltónicos: * **Proporción poblacional hipotética ($p_0$):** Se afirma que uno de cada diez es daltónico, por tanto: $p_0 = \frac{1}{10} = 0.1$. * **Hipótesis nula ($H_0$):** $p = 0.1$ (La hipótesis de partida es correcta). * **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \neq 0.1$ (La proporción es distinta a la de la hipótesis). * **Tamaño de la muestra ($n$):** $n = 400$. * **Proporción muestral ($\hat{p}$):** En la muestra hay 50 daltónicos de 400: $\hat{p} = \frac{50}{400} = 0.125$. 💡 **Tip:** Al no indicar si la sospecha es que la proporción sea mayor o menor, planteamos un **contraste bilateral** (dos colas).

Para muestras grandes ($n \cdot p_0 > 5$ y $n \cdot q_0 > 5$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal: $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}\right)$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.1 = 0.9$. Calculamos la desviación típica de la proporción (error típico): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.1 \cdot 0.9}{400}} = \sqrt{\frac{0.09}{400}} = \frac{0.3}{20} = 0.015.$$ Ahora calculamos el valor del estadístico observado $Z_{exp}$ (cuántas desviaciones típicas se aleja nuestra muestra de la media teórica): $$Z_{exp} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.125 - 0.1}{0.015} = \frac{0.025}{0.015} = 1.666... \approx 1.67.$$ 💡 **Tip:** El valor $Z_{exp}$ nos indica la posición de nuestra muestra en la campana de Gauss respecto a la hipótesis nula.

Para un nivel de significación del $\alpha = 10\%$ ($0.10$), al ser un contraste bilateral, repartimos el error en dos colas de $5\%$ cada una ($\alpha/2 = 0.05$): Buscamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$Z_{\alpha/2} = 1.645.$$ La **región de aceptación** es el intervalo: $$(-1.645, 1.645)$$ Comparamos nuestro valor experimental: $$Z_{exp} = 1.67 > 1.645$$ Como el valor calculado cae **fuera** de la región de aceptación (está en la región crítica), debemos rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la hipótesis de partida con un nivel de significación del 10%}}$$

**b) Sobre la muestra estudiada en a), ¿se obtendría la misma conclusión si $\alpha = 0.02$ ?** Ahora cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.02$ (2%). Esto significa que somos más estrictos para rechazar la hipótesis (queremos estar más seguros de que el error no es por azar). Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.01$. Buscamos $Z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$Z_{\alpha/2} \approx 2.33.$$ La nueva **región de aceptación** es: $$(-2.33, 2.33)$$ Comparamos nuestro valor experimental obtenido anteriormente: $$Z_{exp} = 1.67$$ En este caso, $|1.67| \le 2.33$, por lo que el valor **sí cae dentro** de la región de aceptación. 💡 **Tip:** Cuanto menor es $\alpha$, mayor es el intervalo de aceptación y es más difícil rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{No se obtendría la misma conclusión. Con } \alpha = 0.02 \text{ sí se aceptaría la hipótesis de partida}}$$