Intervalo de confianza y tamaño de la muestra

**a) Construir un intervalo de confianza, al 99%, para $\mu$.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa las horas semanales de televisión: - Población: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 2)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$. - Tamaño de la muestra: $n = 256$. - Media muestral: $\bar{x} = 6$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir entre la desviación típica de la población ($\sigma$) y la de la muestra. Aquí nos dan directamente la poblacional.

Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$. 2. $\alpha/2 = 0.005$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.005 = 0.9950$$ Mirando en la tabla de la $N(0, 1)$, el valor $0.9950$ se encuentra entre $z = 2.57$ y $z = 2.58$. Tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Si no quieres usar tres decimales, el uso de $2.57$ o $2.58$ también suele ser aceptado, pero $2.575$ es más preciso.

La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{2}{\sqrt{256}} = 2.575 \cdot \frac{2}{16} = 2.575 \cdot 0.125 = 0.321875$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral: - Límite inferior: $6 - 0.321875 = 5.678125$ - Límite superior: $6 + 0.321875 = 6.321875$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (5.6781, 6.3219)}$$

**b) Si $\alpha = 0.05$, ¿cuál es el tamaño de la muestra que se necesita encuestar para que el error máximo de la estimación de $\mu$ sea de 0.5 horas?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de significación: $\alpha = 0.05 \implies$ Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95$. - Error máximo permitido: $E = 0.5$. - Desviación típica: $\sigma = 2$ (se mantiene la de la población). Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.9750$$ Buscando en la tabla: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico para el $95\%$ ($z = 1.96$) es uno de los más utilizados en estadística, conviene recordarlo.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 2}{0.5} \right)^2 = \left( \frac{3.92}{0.5} \right)^2 = (7.84)^2 = 61.4656$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos asegurar que el error no supere $0.5$, debemos **redondear siempre al alza**. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 62 \text{ jóvenes}}$$