Análisis de una función de beneficios a trozos

**a) ¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representarla gráficamente.** Para que la función sea continua en su dominio $[0, 8]$, debemos comprobar el salto entre ramas en el punto crítico $x=3$. 1. **Valor de la función:** $B(3) = 5(3) + 15 = 30$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 3^-} B(x) = \lim_{x \to 3} (5x + 15) = 30$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 3^+} B(x) = \lim_{x \to 3} (-(x-3)^2 + 30) = -(0)^2 + 30 = 30$. Como $B(3) = \lim_{x \to 3^-} B(x) = \lim_{x \to 3^+} B(x) = 30$, la función es **continua en $x=3$** y, por tanto, en todo su dominio $[0, 8]$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales en dicho punto.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos primero la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$B'(x) = \begin{cases} 5, & 0 \lt x \lt 3 \\ -2(x-3), & 3 \lt x \lt 8 \end{cases}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en el punto de cambio $x=3$: - Derivada por la izquierda: $B'(3^-) = 5$. - Derivada por la derecha: $B'(3^+) = -2(3-3) = 0$. Como $B'(3^-) \neq B'(3^+)$ ($5 \neq 0$), la función **no es derivable en $x=3$**. Gráficamente, esto significa que hay un punto anguloso en $x=3$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales deben coincidir.

La función consta de dos tramos: 1. Un segmento de recta con pendiente positiva que va desde $(0, 15)$ hasta $(3, 30)$. 2. Un arco de parábola invertida (hacia abajo) que comienza en $(3, 30)$ y termina en $x=8$. Evaluando el final: $B(8) = -(8-3)^2 + 30 = -25 + 30 = 5$. Representamos la función en el intervalo dado:

**b) ¿Cuándo crece y decrece la función beneficio?** Analizamos el signo de la derivada $B'(x)$ en cada tramo: - En el intervalo $(0, 3)$, $B'(x) = 5 \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En el intervalo $(3, 8)$, $B'(x) = -2(x-3)$. Como en este intervalo $x \gt 3$, el término $(x-3)$ es positivo y, al multiplicarlo por $-2$, obtenemos un valor negativo. Por tanto, $B'(x) \lt 0$ y la función es **decreciente**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,3) & 3 & (3,8)\\\hline B'(x) & + & \nexists & -\\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crece en } (0, 3) \text{ y decrece en } (3, 8)}$$

**c) ¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo?** Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[0, 8]$: - **Extremo inferior:** $x=0 \implies B(0) = 5(0) + 15 = 15$ mil euros. - **Punto de cambio (posible máximo):** $x=3 \implies B(3) = 30$ mil euros. Como la función pasa de crecer a decrecer, es un máximo relativo y absoluto. - **Extremo superior:** $x=8 \implies B(8) = -(8-3)^2 + 30 = -25 + 30 = 5$ mil euros. Comparando los valores: - El beneficio máximo es de **30.000 €** y se alcanza con una inversión de **3.000 €** ($x=3$). - El beneficio mínimo es de **5.000 €** y se alcanza con una inversión de **8.000 €** ($x=8$). 💡 **Tip:** En problemas de optimización en intervalos cerrados, siempre debemos comprobar tanto los puntos donde la derivada es cero (o no existe) como los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } x=3 \text{ (30.000 €), Mínimo: } x=8 \text{ (5.000 €)}} $$