Optimización de mezclas de frutos secos

**a) Representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de cajas de tipo A. - $y$: número de cajas de tipo B. El objetivo es maximizar los ingresos por ventas (beneficio), por lo que definimos la **función objetivo**: $$f(x, y) = 80x + 90y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente qué representan $x$ e $y$ es fundamental para plantear las restricciones sin errores.

A partir de las existencias de frutos secos, establecemos las inecuaciones que limitan la producción: 1. **Avellanas:** Se usan 6 kg para la caja A y 10 kg para la B, con un máximo de 1800 kg: $$6x + 10y \le 1800 \implies 3x + 5y \le 900$$ 2. **Almendras:** Se usan 3 kg para la caja A y 1 kg para la B, con un máximo de 420 kg: $$3x + y \le 420$$ 3. **No negatividad:** No se pueden fabricar cajas negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 3x + 5y \le 900 \\ 3x + y \le 420 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - Recta $r_1$ ($3x + 5y = 900$): Pasa por $(0, 180)$ y $(300, 0)$. - Recta $r_2$ ($3x + y = 420$): Pasa por $(0, 420)$ y $(140, 0)$. La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

**b) ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?** Calculamos los vértices de la región factible: - **A** (Origen): $(0, 0)$. - **B** (Corte de $r_2$ con eje $X$): $y=0 \implies 3x = 420 \implies x = 140$. Punto **$(140, 0)$**. - **C** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} 3x + 5y = 900 \\ 3x + y = 420 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3x+5y) - (3x+y) = 900 - 420 \implies 4y = 480 \implies y = 120$. Sustituyendo $y$: $3x + 120 = 420 \implies 3x = 300 \implies x = 100$. Punto **$(100, 120)$**. - **D** (Corte de $r_1$ con eje $Y$): $x=0 \implies 5y = 900 \implies y = 180$. Punto **$(0, 180)$**. $$\boxed{Vértices: A(0,0), B(140,0), C(100,120), D(0,180)}$$

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 80x + 90y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: - $f(0, 0) = 80(0) + 90(0) = 0$ € - $f(140, 0) = 80(140) + 90(0) = 11200$ € - $f(100, 120) = 80(100) + 90(120) = 8000 + 10800 = 18800$ € - $f(0, 180) = 80(0) + 90(180) = 16200$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(100, 120)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo se encuentra siempre en un vértice o en un segmento de la frontera. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe hacer 100 cajas del tipo A y 120 del tipo B para un beneficio máximo de 18800 euros.}}$$