Inferencia estadística: Intervalo de confianza y contraste de hipótesis para proporciones

**a) Con un nivel de confianza del 99%, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia.** Primero, identificamos los datos del enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 169$ - Inmigrantes sin permiso: $60$ - Inmigrantes con permiso: $169 - 60 = 109$ Como el apartado (a) nos pide el intervalo para los que **tienen** permiso de residencia, calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{109}{169} \approx 0.645$$ Por tanto, la proporción de los que no tienen permiso será: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.645 = 0.355$$ 💡 **Tip:** Lee siempre con atención qué proporción te piden. En este caso, el enunciado da el dato de los que "no tienen", pero el apartado (a) pregunta por los que "tienen".

Para un nivel de confianza del $99\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$$ Dividimos el nivel de significación entre dos para las dos colas del intervalo: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Mirando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ (A veces se usa $2.58$, pero $2.575$ es más preciso por interpolación). 💡 **Tip:** Recuerda los valores críticos más comunes: para $90\%$ es $1.645$, para $95\%$ es $1.96$ y para $99\%$ es $2.575$.

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.645 \cdot 0.355}{169}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.228975}{169}} = 2.575 \cdot 0.0368 \approx 0.0948$$ Ahora aplicamos el error a la proporción muestral: - Límite inferior: $0.645 - 0.0948 = 0.5502$ - Límite superior: $0.645 + 0.0948 = 0.7398$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{99\%} = [0.5502, \, 0.7398]}$$

**b) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?** En este apartado nos centramos en los que **carecen** de permiso. La proporción muestral para este caso es: $$\hat{p} = \frac{60}{169} \approx 0.355$$ Queremos contrastar si la proporción poblacional ($p$) es, como mucho, del $25\%$ ($0.25$): - Hipótesis nula ($H_0$): $p \le 0.25$ (lo que queremos comprobar). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \gt 0.25$ (contraste unilateral derecho). 💡 **Tip:** "A lo sumo" significa "menor o igual que". Siempre que la pregunta incluya el signo igual, esa debe ser la hipótesis nula $H_0$.

El nivel de significación es $\alpha = 0.05$. Al ser un contraste unilateral derecho, buscamos el valor $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 0.95$: $$z_{\alpha} = 1.645$$ Calculamos el estadístico de contraste $Z$ usando el valor bajo la hipótesis nula ($p_0 = 0.25$): $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot (1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.355 - 0.25}{\sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{169}}}$$ Operamos: $$Z = \frac{0.105}{\sqrt{\frac{0.1875}{169}}} = \frac{0.105}{0.0333} \approx 3.15$$ 💡 **Tip:** En el denominador del estadístico de contraste se usa el valor de $p$ de la hipótesis nula ($p_0$), no el de la muestra.

Comparamos el estadístico $Z$ con el valor crítico $z_{\alpha}$: - Estadístico calculado: $Z = 3.15$ - Valor crítico: $z_{0.05} = 1.645$ Como $Z = 3.15 \gt 1.645$, el estadístico cae en la **región de rechazo**. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. Con un nivel de significación del $5\%$, hay evidencias suficientes para afirmar que la proporción de inmigrantes sin permiso es superior al $25\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la hipótesis. La proporción es significativamente mayor al 25\%}.}$$