Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0.95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Media muestral: $\bar{x} = 20$ € - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ € - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \ge 30$), sabemos que la media muestral sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ 💡 **Tip:** En problemas de inferencia, identifica siempre primero si conoces la desviación típica poblacional ($\sigma$) y el tamaño de la muestra ($n$).

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95$ 2. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el más habitual para el $95\%$ de confianza. Es recomendable memorizar los valores críticos para $90\%$, $95\%$ y $99\%$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{5}{\sqrt{64}} = 1.96 \cdot \frac{5}{8} = 1.96 \cdot 0.625 = 1.225$$ El intervalo de confianza viene dado por la fórmula: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ $$IC = (20 - 1.225, 20 + 1.225)$$ $$IC = (18.775, 21.225)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (18.775, 21.225) \text{ €}}$$

**b) ¿Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99% y un error menor de 1 €?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$ - Error máximo permitido: $E \lt 1$ - Desviación típica: $\sigma = 5$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Mirando en las tablas de la normal, el valor que corresponde a $0.995$ está entre $2.57$ y $2.58$. Usaremos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si tu tabla no es tan precisa, a veces se acepta $2.58$ como aproximación para el $99\%$.

Queremos que el error sea menor de $1$ €, por lo que planteamos la inecuación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Sustituimos los valores: $$2.575 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Multiplicamos y despejamos $\sqrt{n}$: $$12.875 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para despejar $n$: $$n \gt (12.875)^2$$ $$n \gt 165.7656$$ Como el número de restaurantes debe ser un número entero, debemos redondear siempre al alza para asegurar que el error sea **menor** que el indicado. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 166 \text{ restaurantes}}$$