Emisiones de gases contaminantes

**a) ¿Cuál es el nivel máximo?¿Cuándo se produce? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye dicho nivel?** Para estudiar el nivel máximo y los intervalos de crecimiento, primero simplificamos la función $n(t)$ y calculamos su derivada. La función es: $$n(t) = \frac{t}{8}(20 - 2t) = \frac{20t - 2t^2}{8} = \frac{5}{2}t - \frac{1}{4}t^2$$ Derivamos respecto a $t$: $$n'(t) = \frac{5}{2} - \frac{2}{4}t = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}t = \frac{5-t}{2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$n'(t) = 0 \implies 5 - t = 0 \implies t = 5$$ 💡 **Tip:** El máximo de una función continua en un intervalo cerrado suele encontrarse donde la derivada es cero o en los extremos del intervalo. En este caso, $t=5$ está dentro del dominio $[0, 10]$.

Analizamos el signo de $n'(t)$ en el intervalo de actividad $[0, 10]$ para determinar dónde aumenta o disminuye la emisión. Dividimos el dominio por el punto crítico $t=5$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 5) & 5 & (5, 10)\\ \hline n'(t) = \frac{5-t}{2} & + & 0 & -\\ \hline n(t) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, $n'(t) > 0$, por lo que el nivel de emisiones **aumenta**. - En el intervalo $(5, 10)$, $n'(t) < 0$, por lo que el nivel de emisiones **disminuye**. Al pasar de crecer a decrecer en $t=5$, confirmamos que hay un **máximo relativo**. ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Aumenta en } (0, 5) \text{ y disminuye en } (5, 10)}$$

Para hallar el nivel máximo de emisiones, evaluamos la función original $n(t)$ en el tiempo $t=5$ horas: $$n(5) = \frac{5}{8}(20 - 2 \cdot 5) = \frac{5}{8}(20 - 10) = \frac{5 \cdot 10}{8} = \frac{50}{8} = 6,25 \text{ toneladas}$$ Como es una función cuadrática con coeficiente principal negativo (parábola abierta hacia abajo), este máximo es absoluto en el intervalo dado. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Nivel máximo: } 6,25 \text{ toneladas a las } t = 5 \text{ horas}}$$

**b) ¿En qué momentos el nivel es de cuatro toneladas?** Para responder a esta pregunta, igualamos la función $n(t)$ a 4 y resolvemos la ecuación resultante: $$\frac{t}{8}(20 - 2t) = 4$$ Multiplicamos toda la ecuación por 8 para eliminar el denominador: $$t(20 - 2t) = 32$$ $$20t - 2t^2 = 32$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$2t^2 - 20t + 32 = 0$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$t^2 - 10t + 16 = 0$$ 💡 **Tip:** Para resolver $at^2 + bt + c = 0$, usamos la fórmula: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Aplicamos la fórmula cuadrática a $t^2 - 10t + 16 = 0$: $$t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$$ $$t = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$t = \frac{10 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ horas. 2. $t_2 = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ horas. Ambos valores se encuentran dentro del intervalo de actividad $[0, 10]$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{El nivel es de 4 toneladas a las } t = 2 \text{ horas y a las } t = 8 \text{ horas}}$$