Cálculo de área entre curvas y aplicación práctica de riego

**a) Representa la parcela.** Para representar la parcela y conocer los límites de integración, primero debemos hallar los puntos donde se cortan la parábola $y = (x - 3)^2$ y la recta $y = x + 3$. Igualamos ambas expresiones: $$(x - 3)^2 = x + 3$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio: $$x^2 - 6x + 9 = x + 3$$ Pasamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 7x + 6 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{12}{2} = 6$ - $x_2 = \frac{2}{2} = 1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en la recta $y = x + 3$: - Para $x = 1 \implies y = 1 + 3 = 4 \implies \mathbf{P_1(1, 4)}$ - Para $x = 6 \implies y = 6 + 3 = 9 \implies \mathbf{P_2(6, 9)}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites del intervalo $[1, 6]$ en el eje $X$ donde se encuentra nuestra región.

Para dibujar la parcela, analizamos brevemente las funciones: 1. **La parábola $y = (x - 3)^2$**: Es una parábola convexa (forma de U) con vértice en el punto $(3, 0)$, ya que es un cuadrado perfecto que se anula en $x=3$. 2. **La recta $y = x + 3$**: Pasa por los puntos de corte hallados $(1, 4)$ y $(6, 9)$, además de cortar al eje $Y$ en $(0, 3)$. La región encerrada es la zona comprendida entre la recta (que queda por encima) y la parábola (que queda por debajo) entre $x=1$ y $x=6$. ✅ **Resultado (a):** La representación gráfica muestra una porción de plano limitada superiormente por la recta e inferiormente por la parábola en el intervalo $[1, 6]$.

**b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar?** Primero debemos calcular el área de la parcela en metros cuadrados ($m^2$). El área entre dos curvas se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior: $$A = \int_{1}^{6} [ (x + 3) - (x - 3)^2 ] \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$(x + 3) - (x^2 - 6x + 9) = x + 3 - x^2 + 6x - 9 = -x^2 + 7x - 6$$ Por tanto: $$A = \int_{1}^{6} (-x^2 + 7x - 6) \, dx$$ 💡 **Tip:** Es fundamental identificar correctamente qué función está por encima. En este caso, en el intervalo $(1, 6)$, la recta $y=x+3$ siempre toma valores mayores que la parábola.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 7x - 6) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites 6 y 1: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x \right]_{1}^{6}$$ Evaluamos en $x = 6$: $$F(6) = -\frac{6^3}{3} + \frac{7 \cdot 6^2}{2} - 6 \cdot 6 = -\frac{216}{3} + \frac{252}{2} - 36 = -72 + 126 - 36 = 18$$ Evaluamos en $x = 1$: $$F(1) = -\frac{1^3}{3} + \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{-2 + 21 - 36}{6} = -\frac{17}{6}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(6) - F(1) = 18 - \left( -\frac{17}{6} \right) = 18 + \frac{17}{6} = \frac{108 + 17}{6} = \frac{125}{6} \text{ m}^2$$ $$\boxed{A \approx 20.83 \text{ m}^2}$$

Una vez conocemos el área, calculamos la cantidad total de agua. Sabemos que cada metro cuadrado requiere 12 litros de agua. $$\text{Litros totales} = \text{Área} \cdot 12$$ $$\text{Litros} = \frac{125}{6} \text{ m}^2 \cdot 12 \frac{\text{litros}}{\text{m}^2}$$ Como $12 / 6 = 2$, la operación es sencilla: $$\text{Litros} = 125 \cdot 2 = 250 \text{ litros}$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{250 \text{ litros de agua}}$$