Distribución de productos en un comercio

En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada tipo de producto que queremos encontrar: - $x$: número de productos del **tipo A**. - $y$: número de productos del **tipo B**. - $z$: número de productos del **tipo C**. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de álgebra con enunciados.

Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. El total de productos es 270: $$x + y + z = 270$$ 2. Del tipo A tiene 30 unidades menos que la suma de B y C: $$x = (y + z) - 30 \implies x - y - z = -30$$ 3. Del tipo C tiene el 35% de la suma de A y B: $$z = 0,35(x + y) \implies 0,35x + 0,35y - z = 0$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 270 \quad \text{(1)}\\ x - y - z = -30 \quad \text{(2)}\\ 0,35x + 0,35y - z = 0 \quad \text{(3)} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El 35% de una cantidad se expresa siempre multiplicando por $0,35$.

Podemos utilizar el método de reducción sumando las ecuaciones (1) y (2) para eliminar las variables $y$ y $z$ rápidamente: $$\begin{array}{rrc} x + y + z &=& 270 \\ + \, x - y - z &=& -30 \\ \hline 2x & = & 240 \end{array}$$ Dividimos entre 2: $$x = \frac{240}{2} = 120$$ Por tanto, ya sabemos que hay **120 unidades del tipo A**. $$\boxed{x = 120}$$

Ahora sustituimos $x = 120$ en las ecuaciones (1) y (3) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): Sustituyendo en (1): $$120 + y + z = 270 \implies y + z = 150$$ Sustituyendo en (3): $$0,35(120) + 0,35y - z = 0 \implies 42 + 0,35y - z = 0 \implies 0,35y - z = -42$$ Tenemos el nuevo sistema: $$\begin{cases} y + z = 150 \quad \text{(A)}\\ 0,35y - z = -42 \quad \text{(B)} \end{cases}$$

Sumamos las ecuaciones (A) y (B) para eliminar la variable $z$: $$\begin{array}{rrc} y + z &=& 150 \\ + \, 0,35y - z &=& -42 \\ \hline 1,35y & = & 108 \end{array}$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{108}{1,35} = 80$$ Ahora calculamos $z$ sustituyendo en la ecuación (A): $$80 + z = 150 \implies z = 150 - 80 = 70$$ Por tanto, hay **80 unidades del tipo B** y **70 unidades del tipo C**. $$\boxed{y = 80, \quad z = 70}$$

Finalmente, resumimos los resultados obtenidos: - Unidades del tipo A: **120** - Unidades del tipo B: **80** - Unidades del tipo C: **70** **Comprobación:** 1. Suma total: $120 + 80 + 70 = 270$ (Correcto). 2. Diferencia A respecto a B+C: $80 + 70 - 30 = 150 - 30 = 120$ (Correcto). 3. C es el 35% de A+B: $0,35 \cdot (120 + 80) = 0,35 \cdot 200 = 70$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 120 productos de tipo A, 80 de tipo B y 70 de tipo C}}$$