Distribución Binomial y Aproximación a la Normal

**a) ¿Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el periodo de garantía?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de aparatos averiados de un total de $n = 120$ aparatos vendidos. La probabilidad de que un aparato se averíe es: $$p = \frac{5}{20} = 0.25$$ Por tanto, la probabilidad de que no se averíe es $q = 1 - p = 0.75$. Estamos ante una distribución Binomial $X \sim B(n, p) = B(120, 0.25)$. El número esperado (o esperanza matemática) se calcula como: $$\mu = E[X] = n \cdot p = 120 \cdot 0.25 = 30.$$ 💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, la media o valor esperado siempre es el producto del número de ensayos por la probabilidad de éxito. ✅ **Resultado (valor esperado):** $$\boxed{30 \text{ aparatos}}$$

Para resolver los apartados b) y c), dado que $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar la distribución Binomial por una Normal: 1. $n \cdot p = 120 \cdot 0.25 = 30 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 120 \cdot 0.75 = 90 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$, donde: $$\mu = 30$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{120 \cdot 0.25 \cdot 0.75} = \sqrt{22.5} \approx 4.7434$$ Así, trabajaremos con $X' \sim N(30, 4.74)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**, sumando o restando $0.5$ a los límites del intervalo.

**b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40.** Queremos calcular $P(25 \le X \le 40)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(24.5 \le X' \le 40.5)$$ Tipificamos la variable usando $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$Z_1 = \frac{24.5 - 30}{4.74} = \frac{-5.5}{4.74} \approx -1.16$$ $$Z_2 = \frac{40.5 - 30}{4.74} = \frac{10.5}{4.74} \approx 2.22$$ La probabilidad es: $$P(-1.16 \le Z \le 2.22) = P(Z \le 2.22) - P(Z \le -1.16)$$ $$= P(Z \le 2.22) - (1 - P(Z \le 1.16))$$ Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 2.22) = 0.9868$$ $$P(Z \le 1.16) = 0.8770$$ Calculamos: $$0.9868 - (1 - 0.8770) = 0.9868 - 0.1230 = 0.8638$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.8638}$$

**c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80.** Sea $Y$ el número de aparatos no averiados. Sabemos que $Y = 120 - X$. La condición es $Y \lt 80$: $$120 - X \lt 80 \implies -X \lt -40 \implies X \gt 40$$ Buscamos $P(X \gt 40)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(X' \ge 40.5)$$ Tipificamos de nuevo (usando el valor calculado en el paso anterior): $$P(Z \ge 2.22) = 1 - P(Z \le 2.22)$$ $$1 - 0.9868 = 0.0132$$ 💡 **Tip:** Decir que los no averiados son menos de 80 es equivalente a decir que los averiados son más de 40. Siempre es útil traducir el enunciado a la variable principal $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.0132}$$