Contraste de hipótesis para la media y error máximo

**a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis inicial?** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el precio de la compra en el hipermercado. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 20$ €. La hipótesis inicial (hipótesis nula, $H_0$) afirma que el precio medio es, a lo sumo (es decir, como máximo), de 155 €. Por tanto, planteamos un contraste de hipótesis unilateral a la derecha: $$H_0: \mu \le 155$$ $$H_1: \mu \gt 155$$ Los datos de la muestra son: - Tamaño muestral: $n = 81$ - Media muestral: $\bar{x} = 165$ € - Desviación típica poblacional: $\sigma = 20$ € - Nivel de significación: $\alpha = 0,01$ 💡 **Tip:** Recuerda que la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($\le, \ge, =$). Si el enunciado dice "a lo sumo", significa que el valor puede ser 155 o menos.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,01$ en un contraste unilateral de la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ (o $z_{1-\alpha}$) tal que el área a su derecha sea $0,01$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z$ que deja a su izquierda un área de $1 - \alpha = 1 - 0,01 = 0,99$: $$p(z \le z_{0,99}) = 0,99$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar: Para una probabilidad de $0,99$, el valor crítico es aproximadamente **$z_c = 2,33$**. La **región de aceptación** es el intervalo $(-\infty, 2,33]$ y la **región crítica** (de rechazo) es $(2,33, +\infty)$. 💡 **Tip:** Si el nivel de significación es del 1%, el nivel de confianza es del 99%. El valor $z_{0,99} = 2,33$ es uno de los valores notables que conviene memorizar.

Calculamos el valor del estadístico de contraste, que sigue una distribución normal $N(0,1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$z = \frac{165 - 155}{20 / \sqrt{81}} = \frac{10}{20 / 9} = \frac{10 \cdot 9}{20} = \frac{90}{20} = 4,5$$ Comparamos el estadístico obtenido con el valor crítico: Como **$4,5 \gt 2,33$**, el estadístico cae claramente dentro de la **región crítica**. Por tanto, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la hipótesis inicial con un nivel de significación del 1%}}$$

**b) A partir de los datos muestrales y con una confianza del 90%, ¿cuál es el error máximo al estimar el precio medio de la compra?** El error máximo de estimación ($E$) para la media poblacional en una distribución normal se calcula mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ que deja un área de $1 - 0,05 = 0,95$ a su izquierda: $$p(z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$$ En las tablas de la normal, para $0,95$ el valor exacto está entre $1,64$ y $1,65$. Usualmente se toma: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** El error máximo es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza. Indica la precisión de nuestra estimación.

Sustituimos los datos en la fórmula del error: $$E = 1,645 \cdot \frac{20}{\sqrt{81}}$$ $$E = 1,645 \cdot \frac{20}{9}$$ $$E = 1,645 \cdot 2,222...$$ $$E \approx 3,6555...$$ Redondeando a dos decimales, el error máximo es de $3,66$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = 3,66 \text{ €}}$$