Inferencia estadística: Proporción de viviendas

**a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90% .** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción de viviendas **habitadas**: - Tamaño de la muestra: $n = 121$. - Viviendas deshabitadas: $22$. - Viviendas habitadas: $121 - 22 = 99$. - Proporción muestral de viviendas habitadas: $\hat{p} = \dfrac{99}{121} = \dfrac{9}{11} \approx 0,8182$. - Proporción complementaria (viviendas deshabitadas): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = \dfrac{2}{11} \approx 0,1818$. 💡 **Tip:** Lee con atención qué proporción te piden. En este apartado piden las habitadas, mientras que en el enunciado mencionan las deshabitadas. $$\boxed{n=121, \quad \hat{p}=0,8182}$$

Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$. 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,90 = 0,10$. 3. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,05$. 4. Buscamos en la tabla de la Normal el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. Mirando la tabla de la distribución $N(0,1)$, el valor $0,95$ se encuentra entre $1,64$ y $1,65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1,645.$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ ($90\%$), $1,96$ ($95\%$) y $2,575$ ($99\%$). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$

La fórmula del error máximo admisible para una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,8182 \cdot 0,1818}{121}} = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,1487}{121}} = 1,645 \cdot \sqrt{0,001229} \approx 0,0577.$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0,8182 - 0,0577 = 0,7605$. - Límite superior: $0,8182 + 0,0577 = 0,8759$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0,7605, \; 0,8759)}$$

**b) Con un nivel de significación del 5% ,¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?** En este apartado trabajamos con las viviendas **deshabitadas**. Definimos las hipótesis: - Hipótesis nula ($H_0$): La proporción de viviendas deshabitadas es, a lo sumo, del $15\% \implies p \le 0,15$. - Hipótesis alternativa ($H_1$): La proporción es mayor del $15\% \implies p \gt 0,15$. Se trata de un contraste **unilateral derecho**. Datos: - Proporción bajo estudio ($H_0$): $p_0 = 0,15$. - Proporción muestral deshabitadas: $\hat{p} = \frac{22}{121} \approx 0,1818$. - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$. 💡 **Tip:** "A lo sumo" significa "como máximo", por lo que la desigualdad es $\le$ y la sospecha de incumplimiento va en la alternativa $H_1$ con $\gt$. $$\boxed{H_0: p \le 0,15, \quad H_1: p \gt 0,15}$$

Calculamos el estadístico de contraste $Z$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot (1 - p_0)}{n}}} = \frac{0,1818 - 0,15}{\sqrt{\frac{0,15 \cdot 0,85}{121}}} = \frac{0,0318}{\sqrt{\frac{0,1275}{121}}} = \frac{0,0318}{0,0324} \approx 0,9815.$$ Ahora buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ para un contraste unilateral con $\alpha = 0,05$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,05 = 0,95 \implies z_{\alpha} = 1,645.$$ **Regla de decisión:** Si $Z \gt z_{\alpha}$, rechazamos $H_0$. Como $0,9815 \lt 1,645$, el estadístico no cae en la región crítica (la cola derecha). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta } H_0. \text{ Se puede admitir que la proporción de deshabitadas es, a lo sumo, del 15%}.}$$