Análisis de beneficios industriales

**a) ¿Cuando los beneficios son de un millón de euros?** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de beneficios $b(t)$ al valor indicado, teniendo en cuenta que $b(t)$ ya está expresado en millones de euros. Por tanto, igualamos a $1$: $$b(t) = 1 \implies \frac{2t}{1 + t^2} = 1$$ Multiplicamos ambos lados por $(1 + t^2)$ para eliminar el denominador: $$2t = 1 + t^2$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 - 2t + 1 = 0$$ Esta es una identidad notable $(t - 1)^2 = 0$. Si resolvemos mediante la fórmula general: $$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1$$ Obtenemos una única solución (raíz doble). 💡 **Tip:** Recuerda que $t^2 - 2t + 1$ es el desarrollo de $(t-1)^2$. Siempre que el discriminante sea $0$, tendremos una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los beneficios son de un millón de euros al cabo de } t = 1 \text{ año}}$$

**b) ¿Cuando los beneficios son máximos? ¿Cuando crecen y cuando decrecen?** Para estudiar el crecimiento y los máximos, calculamos la primera derivada $b'(t)$ utilizando la regla del cociente: $$b'(t) = \frac{(2t)'(1 + t^2) - (2t)(1 + t^2)'}{(1 + t^2)^2}$$ $$b'(t) = \frac{2(1 + t^2) - (2t)(2t)}{(1 + t^2)^2} = \frac{2 + 2t^2 - 4t^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{2 - 2t^2}{(1 + t^2)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$b'(t) = 0 \implies 2 - 2t^2 = 0 \implies 2t^2 = 2 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1$$ Dado que el tiempo $t$ debe ser positivo ($t \ge 0$), el único punto crítico a considerar es **$t = 1$**. 💡 **Tip:** Para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En nuestro caso $u = 2t$ y $v = 1 + t^2$.

Analizamos el signo de $b'(t)$ en el intervalo de tiempo relevante ($t > 0$). El denominador $(1 + t^2)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $b'(t)$ depende solo del numerador $2 - 2t^2$. $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline b'(t) & + & 0 & - \\ \hline b(t) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, tomamos por ejemplo $t=0.5$: $b'(0.5) = \frac{2 - 2(0.25)}{\text{positivo}} > 0$. La función **crece**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, tomamos por ejemplo $t=2$: $b'(2) = \frac{2 - 8}{\text{positivo}} < 0$. La función **decrece**. Como la función pasa de crecer a decrecer en $t=1$, existe un **máximo relativo** en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } t = 1 \text{ año. Crece en } (0, 1) \text{ y decrece en } (1, +\infty)}$$

**c) ¿Qué ocurre cuando pasan muchos años?** Esta pregunta nos pide calcular el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} b(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{2t}{1 + t^2}$$ Se trata de un límite de una función racional donde el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$). Podemos resolverlo dividiendo por la mayor potencia de $t$ o aplicando la regla de L'Hôpital: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2t}{1 + t^2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{t \to +\infty} \frac{2}{2t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t} = 0$$ Esto significa que, a medida que pasan muchos años, los beneficios tienden a cero. La industria deja de ser rentable en el largo plazo. 💡 **Tip:** Si el grado del denominador es mayor que el del numerador en una función racional, el límite en el infinito siempre es $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los beneficios tienden a desaparecer (0 euros) a largo plazo}}$$