Optimización de costes en compuestos medicinales

**a) Representar la región factible** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada compuesto medicinal: - $x$: número de píldoras del primer compuesto. - $y$: número de píldoras del segundo compuesto. El objetivo es minimizar el coste total, por lo que definimos la **función objetivo**: $$f(x, y) = 0,50x + 0,90y$$ 💡 **Tip:** Las variables en problemas de programación lineal suelen representar cantidades físicas, por lo que siempre debemos considerar la restricción de no negatividad ($x \ge 0, y \ge 0$).

A partir de los datos del enunciado, establecemos las limitaciones o restricciones en forma de inecuaciones: 1. **Principio activo A**: El primer compuesto aporta 2 unidades y el segundo 4. Se necesita un mínimo de 16: $$2x + 4y \ge 16 \implies x + 2y \ge 8$$ 2. **Principio activo B**: El primer compuesto aporta 6 unidades y el segundo 4. Se necesita un mínimo de 24: $$6x + 4y \ge 24 \implies 3x + 2y \ge 12$$ 3. **No negatividad**: No se pueden tomar cantidades negativas de píldoras: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones queda: $$\begin{cases} x + 2y \ge 8 \\ 3x + 2y \ge 12 \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{cases}$$

Para representar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a los límites de las restricciones: - Recta $r_1$ ($x + 2y = 8$): Pasa por $(0, 4)$ y $(8, 0)$. Como es $\ge$, la zona válida es la superior. - Recta $r_2$ ($3x + 2y = 12$): Pasa por $(0, 6)$ y $(4, 0)$. Como es $\ge$, la zona válida es la superior. La **región factible** es la zona del primer cuadrante situada por encima de ambas rectas (una región no acotada). 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta sombrear, prueba con el punto $(0,0)$. Si no cumple la inecuación (como en este caso: $0 \ge 8$ es falso), la solución es el semiplano que no contiene al origen.

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la zona: - **Vértice A**: Intersección de $x=0$ y $r_2$: $3(0) + 2y = 12 \implies y = 6$. Punto **$A(0, 6)$**. - **Vértice B**: Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3x + 2y) - (x + 2y) = 12 - 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Sustituyendo $x=2$ en la primera: $2 + 2y = 8 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. Punto **$B(2, 3)$**. - **Vértice C**: Intersección de $y=0$ y $r_1$: $x + 2(0) = 8 \implies x = 8$. Punto **$C(8, 0)$**. ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(0, 6), \ B(2, 3), \ C(8, 0)}$$

**b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para minimizar los costos.** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 0,50x + 0,90y$ en cada uno de los vértices hallados: - Para $A(0, 6)$: $f(0, 6) = 0,50(0) + 0,90(6) = 5,40 \text{ €}$. - Para $B(2, 3)$: $f(2, 3) = 0,50(2) + 0,90(3) = 1,00 + 2,70 = 3,70 \text{ €}$. - Para $C(8, 0)$: $f(8, 0) = 0,50(8) + 0,90(0) = 4,00 \text{ €}$. El coste mínimo se produce en el punto $B(2, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El paciente debe recibir 2 píldoras del compuesto 1 y 3 píldoras del compuesto 2.}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de minimización con regiones no acotadas, el mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la frontera inferior.