Inferencia estadística: Contraste de hipótesis e intervalo de confianza

**a) Con una significación del 10%, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del 25%, frente a que ha aumentado?** Primero, definimos las hipótesis del problema. Queremos contrastar si la proporción actual $p$ sigue siendo menor o igual al $25\%$ ($0,25$) o si ha aumentado. - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0,25$ (La proporción no ha aumentado). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0,25$ (La proporción ha aumentado). Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**. 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$). Como nos preguntan si "sigue siendo como mucho del 25%", esa es nuestra $H_0$.

Extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Proporción poblacional bajo $H_0$: $p_0 = 0,25$. - Tamaño de la muestra: $n = 120$. - Número de casos de éxito (madres > 30 años): $x = 34$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{34}{120} \approx 0,2833$. - Nivel de significación: $\alpha = 0,10$. Calculamos también $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0,25 = 0,75$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,10$ en un contraste unilateral a la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 1 - 0,10 = 0,90$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$: El valor que más se aproxima a $0,90$ es $1,28$ (ya que para $z=1,28$ la probabilidad es $0,8997$). Por tanto, el valor crítico es: $$\boxed{z_{0,10} = 1,28}$$ La **región de aceptación** será $(-\infty, 1,28]$ y la **región de rechazo** será $(1,28, +\infty)$.

Utilizamos la fórmula del estadístico de contraste para proporciones: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,2833 - 0,25}{\sqrt{\dfrac{0,25 \cdot 0,75}{120}}} = \frac{0,0333}{\sqrt{\dfrac{0,1875}{120}}} = \frac{0,0333}{\sqrt{0,0015625}}$$ $$Z = \frac{0,0333}{0,0395} \approx 0,843$$ 💡 **Tip:** El estadístico $Z$ nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra muestra del valor teórico propuesto en $H_0$.

Comparamos el valor del estadístico experimental $Z \approx 0,843$ con el valor crítico $z_{0,10} = 1,28$. Como $0,843 \lt 1,28$, el estadístico **cae dentro de la región de aceptación** de $H_0$. **Conclusión:** Con un nivel de significación del $10\%$, no hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del $25\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta } H_0: p \le 0,25}$$

**b) Obtener un intervalo de confianza de la proporción de partos de madres de más de 30 años al 90% de confianza** Para el intervalo de confianza de la proporción usamos la fórmula: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Datos necesarios: - $\hat{p} = 0,2833$ - $\hat{q} = 1 - 0,2833 = 0,7167$ - $n = 120$ - Confianza $90\% \implies 1-\alpha = 0,90$. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se obtiene buscando $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$. En las tablas, $z_{0,05} = 1,645$. Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,2833 \cdot 0,7167}{120}} = 1,645 \cdot \sqrt{0,001692} \approx 1,645 \cdot 0,0411 \approx 0,0676$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,2833 - 0,0676 = 0,2157$ - Límite superior: $0,2833 + 0,0676 = 0,3509$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{90\%} = (0,2157; 0,3509)}$$