Intervalo de confianza y tamaño muestral para el consumo de combustible

**a) Obtener un intervalo de confianza del consumo medio en los turismos de gasolina al 96% de confianza.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la muestra de turismos: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Media muestral: $\bar{x} = 9.36 \text{ L/100 km}$ - Desviación típica de la población (o de la muestra al ser $n$ suficientemente grande): $\sigma = 1.4 \text{ L/100 km}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ 💡 **Tip:** Cuando el tamaño de la muestra es $n \ge 30$, podemos aplicar los resultados de la distribución normal para la media muestral gracias al Teorema Central del Límite.

Para un nivel de confianza del $96\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces $\alpha = 0.04$. 2. Dividimos el error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0.02$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 0.98$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.98$$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.9798$ el valor es $2.05$ y para $0.9803$ es $2.06$. Tomamos el valor más aproximado (o la media): $$z_{\alpha/2} \approx 2.05$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites de la zona central de la campana de Gauss que encierra el nivel de confianza deseado.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{1.4}{\sqrt{64}} = 2.05 \cdot \frac{1.4}{8}$$ $$E = 2.05 \cdot 0.175 = 0.35875$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $9.36 - 0.35875 = 9.00125$ - Límite superior: $9.36 + 0.35875 = 9.71875$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (9.00125, 9.71875)}$$

**b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si, con la misma confianza, queremos que el error máximo cometido en la estimación sea de un cuarto de litro?** Nos piden el valor de $n$ para un error máximo $E = 0.25$ (un cuarto de litro), manteniendo el mismo nivel de confianza ($z_{\alpha/2} = 2.05$). Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.05 \cdot 1.4}{0.25} \right)^2 = \left( \frac{2.87}{0.25} \right)^2$$ $$n = (11.48)^2 = 131.7904$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos asegurar que el error sea **como máximo** $0.25$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño de una muestra $n$, si el resultado tiene decimales, redondea al siguiente número entero superior para garantizar que el error no exceda el límite. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 132 \text{ turismos}}$$