Consumo de un motor y optimización

**a) ¿Que momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto es el consumo máximo?** Para encontrar el momento de mayor consumo, debemos localizar el máximo de la función $c(t) = -t^2 + 8t + 20$ en el intervalo $[0, 6]$. Primero, calculamos su derivada respecto al tiempo $t$: $$c'(t) = \frac{d}{dt}(-t^2 + 8t + 20) = -2t + 8$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2t + 8 = 0 \implies 2t = 8 \implies t = \frac{8}{2} = 4$$ Como el valor $t = 4$ se encuentra dentro de nuestro intervalo de estudio $[0, 6]$, es un candidato a máximo. 💡 **Tip:** El máximo de una función en un intervalo cerrado puede estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del intervalo.

Para confirmar que en $t = 4$ hay un máximo, estudiamos el signo de $c'(t)$ en el intervalo $[0, 6]$: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 4) & 4 & (4, 6) \\ \hline c'(t) & + & 0 & - \\ \hline c(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - En el intervalo $(0, 4)$, si tomamos $t=1$, $c'(1) = -2(1) + 8 = 6 > 0$, la función **crece**. - En el intervalo $(4, 6)$, si tomamos $t=5$, $c'(5) = -2(5) + 8 = -2 < 0$, la función **decrece**. Al pasar de crecer a decrecer en $t = 4$, confirmamos que es un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada: $c''(t) = -2$. Al ser negativa ($c''(4) = -2 < 0$), confirmamos que es un máximo.

Evaluamos la función original en $t = 4$ para obtener el valor del consumo máximo: $$c(4) = -(4)^2 + 8(4) + 20$$ $$c(4) = -16 + 32 + 20 = 36$$ También comprobamos los extremos del intervalo para asegurar que es el máximo absoluto: - $c(0) = -0^2 + 8(0) + 20 = 20$ - $c(6) = -6^2 + 8(6) + 20 = -36 + 48 + 20 = 32$ Comparando los valores ($20, 36, 32$), el valor más alto es $36$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El momento de mayor consumo es a las } 4 \text{ horas y el consumo máximo es de } 36 \text{ unidades.}}$$

**b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas que dura el trabajo?** El consumo total a lo largo de un periodo de tiempo, cuando nos dan la función de consumo instantáneo, se calcula mediante la **integral definida** de dicha función en el intervalo dado (de $t=0$ a $t=6$): $$\text{Consumo Total} = \int_{0}^{6} (-t^2 + 8t + 20) \, dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral representa la acumulación de una cantidad a lo largo del tiempo. En este caso, sumamos todos los consumos instantáneos desde la hora $0$ hasta la $6$.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-t^2 + 8t + 20) \, dt = -\frac{t^3}{3} + \frac{8t^2}{2} + 20t = -\frac{t^3}{3} + 4t^2 + 20t$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $0$ y $6$: $$\left[ -\frac{t^3}{3} + 4t^2 + 20t \right]_{0}^{6} = \left( -\frac{6^3}{3} + 4(6^2) + 20(6) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 4(0^2) + 20(0) \right)$$ Operamos los valores: $$\left( -\frac{216}{3} + 4(36) + 120 \right) - (0)$$ $$(-72 + 144 + 120) = 192$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consumo total en las 6 horas es de } 192 \text{ unidades.}}$$