Optimización del área de un bastidor de tres lados

**a) Que medidas debemos darle a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima.** En primer lugar, definimos las variables de nuestro problema basándonos en la geometría de la puerta (rectangular). Un bastidor de puerta de tres lados suele constar de dos lados verticales iguales y un lado horizontal superior. Llamamos: - $x$: longitud de cada uno de los dos lados verticales (metros). - $y$: longitud del lado horizontal superior (metros). La ventilación será máxima cuando el **área** encerrada por el bastidor sea máxima. La función área $A$ de un rectángulo es: $$A = x \cdot y$$ Sabemos que disponemos de una tabla de $4$ metros para los tres lados, lo que nos da la siguiente restricción (perímetro de 3 lados): $$2x + y = 4$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos identificar la función que queremos maximizar/minimizar y la relación (restricción) entre las variables.

Para poder derivar y encontrar el máximo, necesitamos que el área dependa de una sola variable. Despejamos $y$ de la restricción: $$y = 4 - 2x$$ Sustituimos este valor en la función área: $$A(x) = x \cdot (4 - 2x)$$ $$A(x) = 4x - 2x^2$$ **Dominio de la función:** Como las longitudes deben ser positivas: 1. $x \gt 0$ 2. $y \gt 0 \implies 4 - 2x \gt 0 \implies 2x \lt 4 \implies x \lt 2$ Por lo tanto, el dominio de nuestra función es $x \in (0, 2)$. $$\boxed{A(x) = 4x - 2x^2}$$

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 4 - 4x$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4 - 4x = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$$ Ahora verificamos que en $x = 1$ existe un máximo relativo utilizando la segunda derivada: $$A''(x) = -4$$ Como $A''(1) = -4 \lt 0$, el criterio de la segunda derivada nos confirma que en $x = 1$ hay un **máximo**. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, la función tiene un máximo relativo en dicho punto.

También podemos justificar el máximo estudiando el signo de la derivada primera en el intervalo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,2)\\ \hline A'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ Como la función crece a la izquierda de $x=1$ y decrece a la derecha, confirmamos que las medidas para maximizar el área son: - Lados verticales: $x = 1$ metro. - Lado horizontal: $y = 4 - 2(1) = 2$ metros. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{x = 1\text{ m}, \quad y = 2\text{ m}}$$

**b) ¿Que superficie de ventilación se ha conseguido?** Para calcular la superficie (área) máxima conseguida, simplemente sustituimos el valor de $x = 1$ en nuestra función de área o multiplicamos las dimensiones obtenidas: $$A(1) = 1 \cdot 2 = 2 \text{ m}^2$$ O bien usando la fórmula $A(x) = 4x - 2x^2$: $$A(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Superficie} = 2 \text{ m}^2}$$