Resolución de un sistema de ecuaciones lineales: Tarifas de seguros

**a) ¿Cuánto paga cada niño, adulto y anciano?** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en lo que nos pide el problema: - $x$: Precio de la tarifa de un **adulto** (€). - $y$: Precio de la tarifa de un **niño** (€). - $z$: Precio de la tarifa de un **anciano** (€). Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. Primera familia (3 adultos, 2 niños, 1 anciano): $3x + 2y + z = 215$ 2. Segunda familia (4 adultos, 1 niño, 2 ancianos): $4x + y + 2z = 260$ 3. Tercera familia (2 adultos, 2 niños, 1 anciano): $2x + 2y + z = 190$ El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} 3x + 2y + z = 215 \\ 4x + y + 2z = 260 \\ 2x + 2y + z = 190 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar métodos complejos como Gauss o Cramer, observa si hay ecuaciones parecidas. Aquí la primera y la tercera solo se diferencian en el número de adultos.

Para resolver el sistema de forma eficiente, restamos la tercera ecuación de la primera para eliminar $y$ y $z$ directamente: $$(3x + 2y + z) - (2x + 2y + z) = 215 - 190$$ $$3x - 2x + 2y - 2y + z - z = 25$$ $$x = 25$$ Ya sabemos que el precio para un **adulto** es de **25 €**. $$\boxed{x = 25}$$

Sustituimos $x = 25$ en las dos primeras ecuaciones originales para reducir el sistema a dos incógnitas: De la ecuación 1: $3(25) + 2y + z = 215 \implies 75 + 2y + z = 215 \implies 2y + z = 140$ De la ecuación 2: $4(25) + y + 2z = 260 \implies 100 + y + 2z = 260 \implies y + 2z = 160$ Ahora tenemos el sistema reducido: $$\begin{cases} 2y + z = 140 \quad (I) \\ y + 2z = 160 \quad (II) \end{cases}$$ Despejamos $z$ en la ecuación $(I)$: $z = 140 - 2y$. Sustituimos en $(II)$: $$y + 2(140 - 2y) = 160$$ $$y + 280 - 4y = 160$$ $$-3y = 160 - 280$$ $$-3y = -120 \implies y = \frac{-120}{-3} = 40$$ Finalmente, calculamos $z$: $$z = 140 - 2(40) = 140 - 80 = 60$$

Una vez hallados los valores de las incógnitas, concluimos los precios unitarios: - Precio por adulto ($x$): **25 €** - Precio por niño ($y$): **40 €** - Precio por anciano ($z$): **60 €** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Adulto: } 25\text{ €}, \text{ Niño: } 40\text{ €}, \text{ Anciano: } 60\text{ €}}$$

**b) ¿Cuánto pagará una familia de 5 adultos 3 niños y 2 ancianos?** Para calcular este coste, utilizamos la expresión: $$\text{Coste} = 5x + 3y + 2z$$ Sustituimos los valores obtenidos en el apartado anterior: $$\text{Coste} = 5(25) + 3(40) + 2(60)$$ $$\text{Coste} = 125 + 120 + 120$$ $$\text{Coste} = 365 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de multiplicar correctamente cada tarifa por el número de miembros de la familia indicado en el enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Pagarán } 365\text{ €}}$$