Inferencia estadística: Consumo telefónico

**a) ¿Cuánto fue el consumo medio muestral en teléfono móvil?** El intervalo de confianza para la media de una población con distribución normal o muestra grande ($n \ge 30$) se construye de forma simétrica alrededor de la media muestral ($\bar{x}$). Dado el intervalo $[18, 22]$, la media muestral es el punto medio del mismo: $$\bar{x} = \frac{18 + 22}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un intervalo de confianza $[a, b]$, la media muestral siempre es $\bar{x} = \dfrac{a+b}{2}$ y el error cometido es $E = \dfrac{b-a}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 20 \text{ unidades}}$$

**b) ¿Cuánto fue la desviación típica ?** Para hallar la desviación típica, primero necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del 95%. 1. Nivel de confianza $1 - \alpha = 0,95$. 2. Nivel de significación $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. 3. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,025$. 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$

Sabemos que el error máximo admisible ($E$) es la mitad de la amplitud del intervalo. Si el intervalo es $[18, 22]$: $$E = 22 - 20 = 2$$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los datos conocidos ($n = 36$, $z_{\alpha/2} = 1,96$, $E = 2$): $$2 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{36}}$$ $$2 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{6}$$ Despejamos $\sigma$: $$12 = 1,96 \cdot \sigma \implies \sigma = \frac{12}{1,96} \approx 6,1224$$ 💡 **Tip:** El error es la distancia desde la media hasta cualquier extremo del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \approx 6,12}$$

**c) ¿Cuál sería el intervalo de confianza al 90% de confianza para el consumo medio?** Primero calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del 90%: 1. $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10$. 2. $\alpha/2 = 0,05$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En las tablas de la normal, para $0,95$ el valor está entre $1,64$ y $1,65$. Usualmente se toma el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ Calculamos el nuevo error ($E_{90}$): $$E_{90} = 1,645 \cdot \frac{6,1224}{\sqrt{36}} = 1,645 \cdot \frac{6,1224}{6} = 1,645 \cdot 1,0204 \approx 1,6786$$

El nuevo intervalo de confianza se calcula como: $$IC = [\bar{x} - E_{90}, \bar{x} + E_{90}]$$ Sustituimos $\bar{x} = 20$ y $E_{90} \approx 1,68$: $$IC = [20 - 1,68, 20 + 1,68]$$ $$IC = [18,32, 21,68]$$ 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de confianza (del 95% al 90%), el intervalo se vuelve más estrecho (menor precisión, pero más acotado). ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{90} = [18,32, 21,68]}$$