Estimación de la media y distribución de la media muestral

**a) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 96%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el cálculo del tamaño de la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 6$ - Error máximo admisible: $E \lt 1$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ La variable que estudiamos es $X$: "consumo de leche en litros por persona al mes", donde $X \sim N(\mu, 6)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula del error para la estimación de la media es $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Para un nivel de confianza del $96\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04$ 2. $\alpha/2 = 0.02$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.02 = 0.9800$$ Mirando en la tabla de la normal: - Para $2.05 \to 0.9798$ - Para $2.06 \to 0.9803$ Tomamos el valor intermedio (o el más cercano): $$z_{\alpha/2} = 2.055$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la distribución normal estándar.

Utilizamos la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \left( \frac{2.055 \cdot 6}{1} \right)^2 = (12.33)^2 = 152.0289$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que 1, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (tamaño muestral):** $$\boxed{n \ge 153 \text{ personas}}$$

**b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de una muestra de 16 personas sea mayor que 22 litros.** En este apartado nos dan nuevos datos: - Media poblacional: $\mu = 21$ - Desviación típica: $\sigma = 6$ - Tamaño de la muestra: $n = 16$ La media muestral, $\bar{X}$, sigue una distribución normal con la misma media que la población y una desviación típica igual a $\sigma/\sqrt{n}$: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(21, \frac{6}{\sqrt{16}}\right) = N\left(21, \frac{6}{4}\right) = N(21, 1.5)$$ 💡 **Tip:** Cuando tomamos muestras de tamaño $n$, la dispersión de las medias de esas muestras es menor que la de la población original; concretamente se reduce en un factor de $\sqrt{n}$.

Queremos hallar $P(\bar{X} \gt 22)$. Para ello, tipificamos la variable a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(\bar{X} \gt 22) = P\left( Z \gt \frac{22 - 21}{1.5} \right) = P\left( Z \gt \frac{1}{1.5} \right) = P(Z \gt 0.67)$$ Calculamos la probabilidad usando las propiedades de la normal y la tabla: $$P(Z \gt 0.67) = 1 - P(Z \le 0.67)$$ Buscamos $0.67$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 0.67) = 0.7486$$ Sustituimos: $$P(\bar{X} \gt 22) = 1 - 0.7486 = 0.2514$$ ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 22) = 0.2514}$$