Contraste de hipótesis para la media

**a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%?** En primer lugar, definimos las hipótesis del contraste basándonos en el enunciado: - **Hipótesis nula ($H_0$):** El consumo medio es como máximo de 10 euros. $$H_0: \mu \le 10$$ - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** El consumo medio es mayor de 10 euros (contraste unilateral derecho). $$H_1: \mu \gt 10$$ El nivel de significación es $\alpha = 10\% = 0.10$. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula suele ser la afirmación de igualdad o "statu quo", mientras que la alternativa es lo que se quiere probar o investigar.

Al ser un contraste unilateral derecho con $\alpha = 0.10$, buscamos un valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.10 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0.90$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, el valor más cercano a una probabilidad de $0.90$ corresponde a: $$z_{\alpha} \approx 1.28$$ La **región de aceptación** para este contraste es el intervalo $(-\infty, 1.28]$ y la **región de rechazo** es $(1.28, +\infty)$. 💡 **Tip:** Si el estadístico de contraste cae en la región de aceptación, no hay pruebas suficientes para rechazar $H_0$.

Para el primer estudiante, los datos son: - Muestra $n_1 = 36$ - Media muestral $\bar{x}_1 = 10.4$ - Desviación típica $\sigma = 2$ - Valor bajo la hipótesis nula $\mu_0 = 10$ Calculamos el estadístico de contraste $Z_1$: $$Z_1 = \frac{\bar{x}_1 - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n_1}} = \frac{10.4 - 10}{2 / \sqrt{36}} = \frac{0.4}{2 / 6} = \frac{0.4}{0.3333} = 1.2$$ Como $Z_1 = 1.2 \le 1.28$, el valor cae dentro de la **región de aceptación**. ✅ **Resultado (Decisión a):** $$\boxed{\text{El primer estudiante no rechaza } H_0. \text{ Se acepta que el consumo medio es como máximo 10 euros.}}$$

**b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%?** Para el segundo estudiante, mantenemos las mismas hipótesis y el mismo valor crítico ($z_{\alpha} = 1.28$), pero cambian los datos de la muestra: - Muestra $n_2 = 49$ - Media muestral $\bar{x}_2 = 10.39$ - Desviación típica $\sigma = 2$ Calculamos su estadístico de contraste $Z_2$: $$Z_2 = \frac{\bar{x}_2 - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n_2}} = \frac{10.39 - 10}{2 / \sqrt{49}} = \frac{0.39}{2 / 7} = \frac{0.39}{0.2857} \approx 1.365$$ 💡 **Tip:** Aunque la media del segundo estudiante es ligeramente menor ($10.39$ frente a $10.4$), al tener una muestra mayor ($49$ frente a $36$), el error estándar disminuye y el estadístico resulta mayor.

Comparamos el estadístico $Z_2$ con el valor crítico: - $Z_2 = 1.365$ - $z_{\alpha} = 1.28$ Como $Z_2 = 1.365 \gt 1.28$, el valor cae dentro de la **región de rechazo**. Por lo tanto, el segundo estudiante tiene evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa. ✅ **Resultado (Decisión b):** $$\boxed{\text{El segundo estudiante rechaza } H_0. \text{ Concluye que el consumo medio es mayor de 10 euros.}}$$