Evolución del precio de un artículo

**a) Representar la función precio en los últimos 6 años.** Para representar la función $P(t)$, analizamos cada una de sus ramas en sus respectivos dominios: 1. **Primera rama ($0 \le t \le 2$):** $P(t) = 3t^2 + 4$. Es un trozo de parábola convexa (forma de U). - Si $t = 0$, $P(0) = 3(0)^2 + 4 = 4$. Punto: $(0, 4)$. - Si $t = 1$, $P(1) = 3(1)^2 + 4 = 7$. Punto: $(1, 7)$. - Si $t = 2$, $P(2) = 3(2)^2 + 4 = 16$. Punto: $(2, 16)$. 2. **Segunda rama ($2 \lt t \le 6$):** $P(t) = -2t + 20$. Es un trozo de recta con pendiente negativa ($m = -2$). - Si $t \to 2^+$, $P(2) \to -2(2) + 20 = 16$. Punto: $(2, 16)$. - Si $t = 6$, $P(6) = -2(6) + 20 = 8$. Punto: $(6, 8)$. 💡 **Tip:** Al ser $P(2) = 16$ en ambas expresiones, la función es continua en el salto entre ramas $t = 2$.

Uniendo los puntos calculados y teniendo en cuenta la naturaleza de cada tramo (parábola y recta), obtenemos la representación gráfica de la evolución del precio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Gráfica representada en el interactivo inferior}}$$

**b) Estudiar cuando ha sido creciente y cuando decreciente el precio del artículo.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada de la función $P(t)$ en cada tramo: $$P'(t) = \begin{cases} 6t & si \ 0 \lt t \lt 2 \\ -2 & si \ 2 \lt t \lt 6 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $P'(t)$ en cada intervalo: - En $(0, 2)$: Como $t \gt 0$, entonces $P'(t) = 6t \gt 0$. La función es **creciente**. - En $(2, 6)$: Como $P'(t) = -2 \lt 0$. La función es **decreciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,2) & 2 & (2,6) \\ \hline P'(t) & + & \nexists & - \\ \hline P(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Una función es creciente donde su derivada es positiva y decreciente donde su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 2) \text{ y decreciente en } (2, 6)}$$

**c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual?** 1. **Precio máximo:** Observando el estudio de la monotonía, el precio crece hasta $t = 2$ y luego decrece. Por tanto, el máximo se alcanza a los 2 años ($t = 2$). $$P(2) = 3(2)^2 + 4 = 12 + 4 = 16.$$ 2. **Precio actual:** Considerando que el estudio abarca 6 años, el precio actual corresponde al valor de la función al final del periodo, es decir, en $t = 6$. $$P(6) = -2(6) + 20 = -12 + 20 = 8.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Precio máximo: } 16 \text{ unidades. Precio actual: } 8 \text{ unidades.}}$$