Optimización de la producción de tabletas de chocolate

**a) ¿Cuál es la cantidad óptima que debe fabricar de cada tipo, para que los ingresos sean máximos?** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de tabletas de tipo A. - $y$: número de tabletas de tipo B. El objetivo es maximizar los ingresos totales, que vienen dados por el precio de venta de cada tipo de tableta. La función objetivo $I(x, y)$ será: $$I(x, y) = 2x + 1,5y$$ 💡 **Tip:** Siempre identifica primero qué te están preguntando para definir las variables $x$ e $y$. En este caso, son las cantidades de cada tipo de tableta.

Debemos unificar las unidades de medida. Como los ingredientes por tableta están en gramos, pasamos las existencias de kilos a gramos: - Chocolate: $600 \text{ kg} = 600.000 \text{ g}$ - Almendras: $400 \text{ kg} = 400.000 \text{ g}$ Ahora escribimos las restricciones basadas en el consumo de ingredientes y la imposibilidad de fabricar cantidades negativas: 1. **Chocolate:** $300x + 200y \le 600.000$ (simplificando entre 100: $3x + 2y \le 6.000$) 2. **Almendras:** $100x + 100y \le 400.000$ (simplificando entre 100: $x + y \le 4.000$) 3. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de las restricciones facilita mucho el cálculo de los puntos de corte en el gráfico.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (zona donde se cumplen todas las condiciones). - Para $3x + 2y = 6.000$: Si $x=0 \implies y=3.000$; si $y=0 \implies x=2.000$. - Para $x + y = 4.000$: Si $x=0 \implies y=4.000$; si $y=0 \implies x=4.000$. Observamos que la restricción del chocolate es más restrictiva que la de las almendras en el primer cuadrante, ya que la recta $3x + 2y = 6.000$ queda por debajo de $x + y = 4.000$. Los vértices de la región factible son: - $O(0, 0)$ - $A(2.000, 0)$ - $B(0, 3.000)$ No hay punto de corte entre las dos restricciones principales dentro de la zona de interés (el corte teórico sería en $x = -2.000$, lo cual es imposible).

Evaluamos la función objetivo $I(x, y) = 2x + 1,5y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $O(0, 0)$: $I(0, 0) = 2(0) + 1,5(0) = 0\,€$ - En $A(2.000, 0)$: $I(2.000, 0) = 2(2.000) + 1,5(0) = 4.000\,€$ - En $B(0, 3.000)$: $I(0, 3.000) = 2(0) + 1,5(3.000) = 4.500\,€$ El valor máximo se alcanza produciendo solo tabletas del tipo B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cantidad óptima: 0 tabletas de tipo A y 3.000 tabletas de tipo B}}$$

**b) Con la producción óptima, ¿cuánto sobra de chocolate y de almendras?** Utilizamos la solución óptima ($x = 0$, $y = 3.000$) para calcular el consumo real de ingredientes: 1. **Chocolate consumido:** $$300 \cdot (0) + 200 \cdot (3.000) = 600.000 \text{ g} = 600 \text{ kg}$$ Como teníamos $600 \text{ kg}$, el sobrante es $600 - 600 = \mathbf{0 \text{ kg}}$. 2. **Almendras consumidas:** $$100 \cdot (0) + 100 \cdot (3.000) = 300.000 \text{ g} = 300 \text{ kg}$$ Como teníamos $400 \text{ kg}$, el sobrante es $400 - 300 = \mathbf{100 \text{ kg}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sobran 0 kg de chocolate y 100 kg de almendras}}$$