Operaciones con matrices, potencias e inversas

**a) (1 punto) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ a & 0 \\ \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ para que $A^2$ sea la matriz nula.** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Elemento (1,1): $a \cdot a + 1 \cdot a = a^2 + a$ - Elemento (1,2): $a \cdot 1 + 1 \cdot 0 = a$ - Elemento (2,1): $a \cdot a + 0 \cdot a = a^2$ - Elemento (2,2): $a \cdot 1 + 0 \cdot 0 = a$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + a & a \\ a^2 & a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se multiplica cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos correspondientes.

Para que $A^2$ sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser iguales a $0$: $$\begin{pmatrix} a^2 + a & a \\ a^2 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $a^2 + a = 0$ 2) $a = 0$ 3) $a^2 = 0$ 4) $a = 0$ De la segunda y cuarta ecuación, obtenemos directamente que **$a = 0$**. Comprobamos si este valor satisface las demás ecuaciones: - Para la primera: $0^2 + 0 = 0$ (Se cumple) - Para la tercera: $0^2 = 0$ (Se cumple) ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) (2 puntos) Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$, calcule la matriz $(M^{-1} \cdot M^t)^2$.** Primero calculamos la matriz inversa $M^{-1}$ usando la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. 1. Calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (2 \cdot 1) = 1 - 2 = -1$$ Como $|M| \neq 0$, existe la matriz inversa. 2. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $Adj_{11} = 1$ - $Adj_{12} = -1$ - $Adj_{21} = -2$ - $Adj_{22} = 1$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Obtenemos $M^{-1}$: $$M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa de una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora calculamos la traspuesta de $M$, que consiste en cambiar filas por columnas: $$M^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Procedemos a realizar el producto $B = M^{-1} \cdot M^t$: $$B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos: - $B_{11} = (-1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = -1 + 4 = 3$ - $B_{12} = (-1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) = -1 + 2 = 1$ - $B_{21} = (1 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) = 1 - 2 = -1$ - $B_{22} = (1 \cdot 1) + (-1 \cdot 1) = 1 - 1 = 0$ Entonces: $$M^{-1} \cdot M^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos negativos al realizar las sumas de los productos.

Finalmente, elevamos al cuadrado la matriz obtenida en el paso anterior: $$(M^{-1} \cdot M^t)^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos: - Elemento (1,1): $3 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 9 - 1 = 8$ - Elemento (1,2): $3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3$ - Elemento (2,1): $-1 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) = -3$ - Elemento (2,2): $-1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(M^{-1} \cdot M^t)^2 = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}}$$