Estudio de una función racional: cortes, curvatura y asíntotas

**a) (0.5 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes.** Para hallar los puntos de corte de la función $f(x) = \frac{x+1}{2x-1}$, analizamos los dos ejes por separado: 1. **Corte con el eje Y (Ordenadas):** Hacemos $x=0$. $$f(0) = \frac{0+1}{2(0)-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ El punto de corte es **$(0, -1)$**. 2. **Corte con el eje X (Abscisas):** Hacemos $f(x)=0$. $$\frac{x+1}{2x-1} = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$$ El punto de corte es **$(-1, 0)$**. 💡 **Tip:** El punto de corte con el eje Y es único (si existe), mientras que con el eje X pueden existir varios o ninguno. Para que una fracción sea cero, basta con igualar el numerador a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(0, -1) \text{ y } (-1, 0)}$$

**b) (1 punto) Estudie su curvatura.** La curvatura se estudia mediante el signo de la segunda derivada $f''(x)$. Primero calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x+1)'(2x-1) - (x+1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1(2x-1) - (x+1)(2)}{(2x-1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x-1-2x-2}{(2x-1)^2} = \frac{-3}{(2x-1)^2}$$ Ahora derivamos de nuevo para obtener $f''(x)$. Podemos ver $f'(x)$ como $-3(2x-1)^{-2}$ para derivar más rápido: $$f''(x) = -3 \cdot (-2) \cdot (2x-1)^{-3} \cdot (2) = \frac{12}{(2x-1)^3}$$ 💡 **Tip:** Para la regla del cociente $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Para la segunda derivada, también podrías haber usado el cociente, pero la regla de la cadena suele ser más directa si el numerador es una constante.

Para estudiar la curvatura, buscamos los puntos donde $f''(x)=0$ y los puntos donde la función no existe (el dominio). El dominio de $f$ es $\mathbb{R} \setminus \{1/2\}$ porque el denominador se anula en $x = 1/2$. Como $f''(x) = \frac{12}{(2x-1)^3}$, vemos que el numerador nunca es cero ($12 \neq 0$), por lo que **no hay puntos de inflexión**. Analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x = 1/2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\\hline f''(x) & - & \nexists & + \end{array}$$ - En $(-\infty, 1/2)$: Tomamos $x=0 \implies f''(0) = \frac{12}{-1} = -12 \lt 0$. La función es **convexa** (o cóncava hacia abajo $\cap$). - En $(1/2, +\infty)$: Tomamos $x=1 \implies f''(1) = \frac{12}{1} = 12 \gt 0$. La función es **cóncava** (o cóncava hacia arriba $\cup$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, 1/2) \text{ y Cóncava en } (1/2, +\infty)}$$

**c) (1 punto) Determine sus asíntotas.** **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Buscamos los valores que anulan el denominador: $2x-1 = 0 \implies x = 1/2$. Calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1/2^-} \frac{x+1}{2x-1} = \frac{1.5}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1/2^+} \frac{x+1}{2x-1} = \frac{1.5}{0^+} = +\infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = 1/2$**. 💡 **Tip:** Si el límite cuando $x$ tiende a un punto es infinito, hay una A.V. en ese punto.

**2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{2x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 1/2$**. **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Dado que existe una asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$, **no hay asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = 1/2, \quad \text{A.H.: } y = 1/2, \quad \text{A.O.: No hay}}$$

**d) (0.5 puntos) Represente la función.** Para representar la función, utilizamos toda la información obtenida: - Puntos de corte: $(0, -1)$ y $(-1, 0)$. - Asíntota vertical: $x = 0.5$. - Asíntota horizontal: $y = 0.5$. - Curvatura: $\cap$ a la izquierda de la asíntota y $\cup$ a la derecha. La función es una hipérbola equilátera desplazada y escalada.