Probabilidad y Estimación de Proporciones

**Parte I: Laura tiene en su monedero 6 monedas francesas, 2 italianas y 4 españolas. Vicente tiene 9 francesas y 3 italianas. Cada uno saca, al azar, una moneda de su monedero y observa la nacionalidad.** Primero, definimos los sucesos y calculamos las probabilidades de extracción para cada monedero: - Monedero de Laura ($L$): Total de monedas = $6 + 2 + 4 = 12$. - $P(F_L) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ (Francesa) - $P(I_L) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$ (Italiana) - $P(E_L) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ (Española) - Monedero de Vicente ($V$): Total de monedas = $9 + 3 = 12$. - $P(F_V) = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ (Francesa) - $P(I_V) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ (Italiana) Podemos representar el experimento mediante el siguiente árbol de probabilidad:

**a) (0.5 puntos) Obtenga el espacio muestral asociado al experimento.** El espacio muestral $E$ está formado por todos los posibles pares de resultados (Laura, Vicente). Denotamos por $F$ (francesa), $I$ (italiana) y $E$ (española): $$E = \{(F, F), (F, I), (I, F), (I, I), (E, F), (E, I)\}$$ Nótese que Vicente no tiene monedas españolas, por lo que no existen los pares $(F, E)$, $(I, E)$ o $(E, E)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = \{(F, F), (F, I), (I, F), (I, I), (E, F), (E, I)\}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las monedas extraídas no sean de la misma nacionalidad?** Es más sencillo calcular la probabilidad de que sean de la **misma nacionalidad** y restársela a $1$ (suceso contrario). Las monedas son de la misma nacionalidad si ambas son francesas o ambas son italianas: $$P(\text{Mismanac.}) = P(F_L \cap F_V) + P(I_L \cap I_V)$$ Como las extracciones son independientes: $$P(F_L \cap F_V) = P(F_L) \cdot P(F_V) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$$ $$P(I_L \cap I_V) = P(I_L) \cdot P(I_V) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$$ Sumamos ambas: $$P(\text{Mismanac.}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{24} = \frac{9}{24} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$$ La probabilidad de que **no sean de la misma nacionalidad** es: $$P(\text{Distinta nac.}) = 1 - P(\text{Mismanac.}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.5833$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{7}{12} \approx 0.5833}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las monedas extraídas sea francesa?** Para que ninguna sea francesa, Laura debe sacar una moneda italiana o española, y Vicente debe sacar una italiana. - Probabilidad de que Laura no saque francesa: $P(\bar{F}_L) = P(I_L) + P(E_L) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. - Probabilidad de que Vicente no saque francesa: $P(\bar{F}_V) = P(I_V) = \frac{1}{4}$. Al ser sucesos independientes: $$P(\text{Ninguna } F) = P(\bar{F}_L) \cdot P(\bar{F}_V) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = 0.125$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{1}{8} = 0.125}$$

**Parte II: a) (1.5 puntos) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de individuos zurdos de la población.** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Individuos zurdos: $x = 45$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{45}{300} = 0.15$ - Complemento: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 0.85$ Para un nivel de confianza del $97\%$ ($1-\alpha = 0.97$): - $\alpha = 0.03 \implies \alpha/2 = 0.015$ - Buscamos en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. - Mirando la tabla: **$z_{\alpha/2} = 2.17$**. El error de estimación es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.15 \cdot 0.85}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.1275}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.000425} \approx 2.17 \cdot 0.0206155 \approx 0.0447$$ El intervalo es $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.15 - 0.0447, 0.15 + 0.0447) = (0.1053, 0.1947)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para una proporción sigue la fórmula $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.1053, 0.1947)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de confianza del 95%? Razone la respuesta.** El error de estimación viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}}$$ Si el nivel de confianza disminuye (del $97\%$ al $95\%$): 1. El área central $1-\alpha$ es menor. 2. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ también será menor (para el $95\%$, $z_{\alpha/2} = 1.96$, mientras que para el $97\%$ era $2.17$). 3. Al ser $z_{\alpha/2}$ un factor multiplicativo en la fórmula del error, si este disminuye, el error total **disminuye**. Por tanto, el error de estimación sería **menor**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El error sería menor porque el valor crítico } z_{\alpha/2} \text{ disminuye}}$$