Álgebra 2008 Andalucia
Optimización de la producción de hornadas de tartas
OPCIÓN B
EJERCICIO 1
(3 puntos) Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendo que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 € y de 30 € al vender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y vender para maximizar sus beneficios.
Paso 1
Definición de variables y organización de datos
Para resolver este problema de programación lineal, primero definimos las variables de decisión:
- $x$: número de hornadas de tartas del tipo **A**.
- $y$: número de hornadas de tartas del tipo **B**.
Organizamos la información en una tabla para identificar las restricciones y la función objetivo:
$$
\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
& \text{Tipo A } (x) & \text{Tipo B } (y) & \text{Disponibilidad} \\ \hline
\text{Harina (kg)} & 3 & 6 & 150 \\ \hline
\text{Azúcar (kg)} & 1 & 0,5 & 22 \\ \hline
\text{Mantequilla (kg)} & 1 & 1 & 26 \\ \hline
\text{Beneficio (€)} & 20 & 30 & f(x,y) \\ \hline
\end{array}
$$
💡 **Tip:** Definir correctamente las variables es el primer paso crítico en cualquier problema de optimización. Asegúrate de que las unidades sean coherentes.
Paso 2
Planteamiento del modelo matemático
A partir de la tabla anterior, establecemos la función que queremos maximizar (beneficio) y las restricciones impuestas por los ingredientes disponibles:
**Función objetivo:**
$$f(x, y) = 20x + 30y$$
**Restricciones:**
1. Harina: $3x + 6y \le 150 \implies x + 2y \le 50$
2. Azúcar: $x + 0,5y \le 22 \implies 2x + y \le 44$
3. Mantequilla: $x + y \le 26$
4. No negatividad: $x \ge 0, \, y \ge 0$ (no se pueden producir hornadas negativas).
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por un factor común facilita los cálculos posteriores y la representación gráfica.
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones:
- $r_1: x + 2y = 50$ (Pasa por $(0, 25)$ y $(50, 0)$)
- $r_2: 2x + y = 44$ (Pasa por $(0, 44)$ y $(22, 0)$)
- $r_3: x + y = 26$ (Pasa por $(0, 26)$ y $(26, 0)$)
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región factible:
1. **Origen:** $O(0, 0)$.
2. **Corte con eje $x$ ($r_2$):** $y=0 \implies 2x = 44 \implies A(22, 0)$.
3. **Intersección $r_2$ y $r_3$:**
$$\begin{cases} 2x + y = 44 \\ x + y = 26 \end{cases} \implies (2x + y) - (x + y) = 44 - 26 \implies x = 18$$
Sustituyendo: $18 + y = 26 \implies y = 8 \implies B(18, 8)$.
4. **Intersección $r_1$ y $r_3$:**
$$\begin{cases} x + 2y = 50 \\ x + y = 26 \end{cases} \implies (x + 2y) - (x + y) = 50 - 26 \implies y = 24$$
Sustituyendo: $x + 24 = 26 \implies x = 2 \implies C(2, 24)$.
5. **Corte con eje $y$ ($r_1$):** $x=0 \implies 2y = 50 \implies D(0, 25)$.
💡 **Tip:** Verifica siempre que el punto obtenido cumple todas las demás restricciones antes de considerarlo un vértice válido de la región factible.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y conclusión
Evaluamos el beneficio $f(x, y) = 20x + 30y$ en cada vértice para encontrar el máximo:
- $f(0, 0) = 20(0) + 30(0) = 0 \text{ €}$
- $f(22, 0) = 20(22) + 30(0) = 440 \text{ €}$
- $f(18, 8) = 20(18) + 30(8) = 360 + 240 = 600 \text{ €}$
- $f(2, 24) = 20(2) + 30(24) = 40 + 720 = 760 \text{ €}$
- $f(0, 25) = 20(0) + 30(25) = 750 \text{ €}$
El beneficio máximo es de $760 \text{ €}$.
✅ **Resultado final:**
Para maximizar los beneficios, el pastelero debe hacer y vender **2 hornadas del tipo A y 24 hornadas del tipo B**.
$$\boxed{x = 2, \, y = 24}$$