Monotonía y cálculo de derivadas

**a) (1.5 puntos) La gráfica de la derivada de una función $f$ es la recta que pasa por los puntos $(0, -3)$ y $(4, 0)$. Estudie la monotonía de la función $f$.** Primero, necesitamos encontrar la ecuación de la recta que representa a $f'(x)$. Sabemos que pasa por los puntos $A(0, -3)$ y $B(4, 0)$. Calculamos la pendiente ($m$): $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-3)}{4 - 0} = \frac{3}{4}$$ Como la recta pasa por $(0, -3)$, la ordenada en el origen es $n = -3$. Por tanto, la expresión de la derivada es: $$f'(x) = \frac{3}{4}x - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de una recta es $y = mx + n$, donde $m$ es la pendiente y $n$ el punto de corte con el eje $Y$.

Para estudiar la monotonía, debemos analizar el signo de la primera derivada $f'(x)$. 1. Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{3}{4}x - 3 = 0 \implies \frac{3}{4}x = 3 \implies x = \frac{3 \cdot 4}{3} \implies x = 4$$ 2. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 4$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ **Análisis de intervalos:** - Para $x \lt 4$: Si probamos con $x = 0$, $f'(0) = -3 \lt 0$, por lo que $f$ es decreciente. - Para $x \gt 4$: Si probamos con $x = 5$, $f'(5) = \frac{15}{4} - 3 = 0.75 \gt 0$, por lo que $f$ es creciente. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &f(x) \text{ es decreciente en } (-\infty, 4) \\ &f(x) \text{ es creciente en } (4, +\infty) \end{aligned}}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $g(x) = (3x + 1)^3 \cdot L(x^2 + 1)$; $h(x) = \frac{e^x}{7x^5 - 4}$.** Para $g(x)$, aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y la regla de la cadena: Sea $u = (3x+1)^3 \implies u' = 3(3x+1)^2 \cdot 3 = 9(3x+1)^2$ Sea $v = L(x^2+1) \implies v' = \frac{2x}{x^2+1}$ Derivamos $g(x)$: $$g'(x) = 9(3x+1)^2 \cdot L(x^2+1) + (3x+1)^3 \cdot \frac{2x}{x^2+1}$$ Podemos simplificar sacando factor común $(3x+1)^2$: $$g'(x) = (3x+1)^2 \left[ 9L(x^2+1) + \frac{2x(3x+1)}{x^2+1} \right]$$ 💡 **Tip:** El logaritmo neperiano suele escribirse como $L(x)$ o $\ln(x)$. Su derivada es $\frac{f'(x)}{f(x)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = 9(3x+1)^2 L(x^2+1) + \frac{2x(3x+1)^3}{x^2+1}}$$

Para $h(x)$, aplicamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Sea $u = e^x \implies u' = e^x$ Sea $v = 7x^5 - 4 \implies v' = 35x^4$ Derivamos $h(x)$: $$h'(x) = \frac{e^x \cdot (7x^5 - 4) - e^x \cdot (35x^4)}{(7x^5 - 4)^2}$$ Simplificamos sacando factor común $e^x$ en el numerador: $$h'(x) = \frac{e^x (7x^5 - 35x^4 - 4)}{(7x^5 - 4)^2}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar la regla del cociente y recuerda que la derivada de $e^x$ es ella misma. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = \frac{e^x (7x^5 - 35x^4 - 4)}{(7x^5 - 4)^2}}$$