Probabilidad en concesionario y cálculo del tamaño muestral

Para resolver la **Parte I**, primero identificamos los datos y organizamos la información. Tenemos un total de 150 coches. - Diesel ($D$): 90 coches. - Gasolina ($G$): $150 - 90 = 60$ coches. Dentro de los Diesel: - Nuevos ($N$): 72. - Usados ($U$): $90 - 72 = 18$. Dentro de los de Gasolina: - Hay el mismo número de nuevos que de usados: $60 / 2 = 30$ coches de cada tipo. Construimos la **tabla de contingencia** para visualizar mejor las frecuencias: $$\begin{array}{l|c|c|c} & \text{Nuevo (N)} & \text{Usado (U)} & \text{Total} \\ \hline \text{Diesel (D)} & 72 & 18 & 90 \\ \hline \text{Gasolina (G)} & 30 & 30 & 60 \\ \hline \text{Total} & 102 & 48 & 150 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas donde se cruzan dos características (motor y estado), la tabla de contingencia suele ser más rápida y clara que el diagrama de árbol.

**a) (1 punto) Sea nuevo.** Para calcular esta probabilidad, utilizamos la Regla de Laplace: $$P(N) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ De la tabla anterior, vemos que el total de coches nuevos es $102$ y el total de coches en el concesionario es $150$. $$P(N) = \frac{102}{150}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 6: $$P(N) = \frac{17}{25} = 0.68$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N) = 0.68}$$

**b) (1 punto) Tenga motor diesel, sabiendo que es usado.** Nos piden la probabilidad de que sea Diesel condicionado a que es usado, es decir, $P(D|U)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(D|U) = \frac{P(D \cap U)}{P(U)}$$ Mirando nuestra tabla: - Coches usados que son diesel ($D \cap U$): $18$ - Total de coches usados ($U$): $48$ Por tanto: $$P(D|U) = \frac{18}{48}$$ Simplificamos dividiendo entre 6: $$P(D|U) = \frac{3}{8} = 0.375$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ reduce nuestro espacio muestral únicamente a los casos donde ocurre $B$. En este caso, solo miramos la columna de 'Usados'. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|U) = 0.375}$$

**Parte II: (2 puntos) Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación típica 6. ¿De qué tamaño, como mínimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar la media de esa variable con un error máximo de 2 y una confianza del 99%?** Identificamos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 6$ - Error máximo admisible: $E = 2$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: 1. $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ 2. $\alpha/2 = 0.005$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \lt z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. En las tablas de la normal $N(0,1)$, el valor $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más habituales son $z_{0.05} = 1.645$ (90%), $z_{0.025} = 1.96$ (95%) y $z_{0.005} = 2.575$ (99%).

La fórmula que relaciona el error, la confianza, la desviación típica y el tamaño de la muestra es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 6}{2} \right)^2$$ $$n = (2.575 \cdot 3)^2$$ $$n = (7.725)^2$$ $$n \approx 59.67$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y buscamos el mínimo que garantice que el error sea menor o igual a 2, debemos **redondear siempre hacia arriba**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 60 \text{ coches}}$$