Ecuación matricial y cálculo de matriz inversa

**a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:** $$\begin{pmatrix} 1+3x & 2 \\ x & -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$$ Para obtener el sistema de ecuaciones, realizamos el producto de las matrices del miembro izquierdo. Recordamos que el producto se realiza multiplicando filas por columnas: 1. Primera fila por la columna: $$(1+3x) \cdot 3 + 2 \cdot y = 3 + 9x + 2y$$ 2. Segunda fila por la columna: $$x \cdot 3 + (-1) \cdot y = 3x - y$$ Igualamos los resultados a la matriz de la derecha para obtener el sistema: $$\begin{cases} 9x + 2y + 3 = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación pasando el término independiente al otro lado: $$\begin{cases} 9x + 2y = 2 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $A \cdot B$, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Utilizaremos el método de **sustitución** despejando $y$ en la segunda ecuación: De $3x - y = 4 \implies y = 3x - 4$. Sustituimos en la primera ecuación: $$9x + 2(3x - 4) = 2$$ $$9x + 6x - 8 = 2$$ $$15x = 10$$ $$x = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$ Ahora calculamos el valor de $y$ sustituyendo el valor de $x$ hallado: $$y = 3\left(\frac{2}{3}\right) - 4 = 2 - 4 = -2$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad y = -2}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}$.** Primero, comprobamos si la matriz tiene inversa calculando su determinante $|A|$. Si $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 2) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 0 \cdot 2) ]$$ $$|A| = 0 + 0 + 0 - (1 + 0 + 0) = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz tiene inversa. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [Adj(A)]^t$. Primero calculamos la matriz traspuesta $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz de los adjuntos de la traspuesta $Adj(A^t)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta de la traspuesta es: $$[Adj(A)]^t = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}}$$