Recta tangente y determinación de parámetros para extremos relativos

**a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = \frac{3}{x}$ en el punto de abscisa $x = -1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente, primero necesitamos conocer las coordenadas completas del punto de tangencia $(x_0, y_0)$. Ya conocemos la abscisa $x_0 = -1$. Calculamos la ordenada sustituyendo en la función original: $$f(-1) = \frac{3}{-1} = -3$$ Por tanto, el punto de tangencia es $P(-1, -3)$. 💡 **Tip:** Recuerda que el punto $(x_0, f(x_0))$ siempre pertenece tanto a la función como a la recta tangente.

La pendiente de la recta tangente ($m$) en un punto es el valor de la derivada de la función en ese punto: $m = f'(x_0)$. Primero, derivamos la función $f(x) = \frac{3}{x}$. Podemos verla como $f(x) = 3 \cdot x^{-1}$: $$f'(x) = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$$ Ahora calculamos la pendiente en $x = -1$: $$m = f'(-1) = -\frac{3}{(-1)^2} = -\frac{3}{1} = -3$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\frac{k}{x}$ es siempre $-\frac{k}{x^2}$.

Utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $x_0 = -1$, $y_0 = -3$ y $m = -3$: $$y - (-3) = -3(x - (-1))$$ $$y + 3 = -3(x + 1)$$ $$y + 3 = -3x - 3$$ Despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = -3x - 3 - 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -3x - 6}$$

**b) (1.5 puntos) Halle los valores de $a$ y $b$ para que la función $g(x) = ax + \frac{b}{x}$ tenga un extremo relativo en el punto $(1, 2)$.** Si el punto $(1, 2)$ es un extremo relativo, significa dos cosas: 1. El punto pertenece a la gráfica de la función, es decir, $g(1) = 2$. 2. En ese punto, la derivada es cero (condición de extremo relativo), es decir, $g'(1) = 0$. Empezamos aplicando la primera condición $g(1) = 2$: $$g(1) = a(1) + \frac{b}{1} = 2$$ $$a + b = 2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den un punto completo $(x, y)$, la primera ecuación sale de sustituir las coordenadas en la función original.

Ahora aplicamos la condición de extremo relativo. Primero hallamos la derivada de $g(x) = ax + \frac{b}{x}$: $$g'(x) = a - \frac{b}{x^2}$$ Como hay un extremo en $x = 1$, se debe cumplir que $g'(1) = 0$: $$g'(1) = a - \frac{b}{1^2} = 0$$ $$a - b = 0 \implies a = b \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo (máximo o mínimo) siempre ocurre en los puntos donde la primera derivada es igual a cero.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1) $a + b = 2$ 2) $a = b$ Sustituimos la segunda en la primera: $$b + b = 2 \implies 2b = 2 \implies b = 1$$ Como $a = b$, entonces: $$a = 1$$ Por tanto, los valores buscados son $a = 1$ y $b = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$ *(Nota: Podríamos comprobar que es un extremo viendo que $g''(1) = \frac{2b}{1^3} = 2 > 0$, lo que confirma que es un mínimo relativo)*.