Probabilidad y Distribución Normal

**a) (1 punto) Que el alumno resuelva el segundo ejercicio.** En primer lugar, definimos los sucesos del problema: - $A$: El alumno resuelve el primer ejercicio. - $B$: El alumno resuelve el segundo ejercicio. Los datos proporcionados son: - $P(A) = 30\% = 0.30$ - $P(A \cap B) = 10\% = 0.10$ (resuelve ambos) - $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 35\% = 0.35$ (no resuelve ninguno) Podemos organizar la información en una **tabla de contingencia** para hallar las probabilidades restantes: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \overline{B} & \text{Total} \\\hline A & 0.10 & 0.20 & 0.30 \\ \overline{A} & 0.35 & 0.35 & 0.70 \\\hline \text{Total} & 0.45 & 0.55 & 1.00 \end{array}$$ ¿Cómo hemos completado la tabla? 1. $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.30 = 0.70$. 2. Colocamos $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.35$ en su celda. 3. Por diferencia: $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.70 - 0.35 = 0.35$. 4. Sumamos la columna de $B$: $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0.10 + 0.35 = 0.45$. 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando tenemos intersecciones de sucesos y sus contrarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.45}$$ (La probabilidad de que resuelva el segundo ejercicio es del 45%)

**b) (1 punto) Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero.** Nos piden la probabilidad de que ocurra $B$ dado que no ha ocurrido $A$. Esto es una probabilidad condicionada: $P(B | \overline{A})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(B | \overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$$ Utilizando los valores obtenidos en la tabla anterior: - $P(B \cap \overline{A}) = 0.35$ - $P(\overline{A}) = 0.70$ Sustituimos: $$P(B | \overline{A}) = \frac{0.35}{0.70} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$. Siempre dividimos por la probabilidad de lo que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \overline{A}) = 0.5}$$ (La probabilidad es del 50%)

**a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables.** Datos: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 4.5$ cm. - Tamaño de la muestra: $n = 9$. - Valores de la muestra: $205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202$. 1. **Calculamos la media muestral ($\bar{x}$):** $$\bar{x} = \frac{205 + 198 + 202 + 204 + 197 + 195 + 196 + 201 + 202}{9} = \frac{1800}{9} = 200 \text{ cm}$$ 2. **Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97\%$:** $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$ Debemos buscar el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, para una probabilidad de $0.985$, obtenemos: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se toma el más próximo o se interpola, pero $0.985$ suele aparecer exacto. $$\boxed{\bar{x} = 200, \quad z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error de estimación $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{4.5}{\sqrt{9}} = 2.17 \cdot \frac{4.5}{3} = 2.17 \cdot 1.5 = 3.255$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $200 - 3.255 = 196.745$ - Límite superior: $200 + 3.255 = 203.255$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (196.745, 203.255)}$$

**b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.** El error de estimación viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \lt 1$. Manteniendo el nivel de confianza del $97\%$, usamos $z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 4.5$. Sustituimos en la inecuación: $$2.17 \cdot \frac{4.5}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$2.17 \cdot 4.5 \lt \sqrt{n} \implies 9.765 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$n \gt (9.765)^2 \implies n \gt 95.355225$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea **inferior** al límite. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo (ej. .1), siempre se redondea hacia arriba para cumplir la restricción del error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 96}$$