Álgebra 2008 Andalucia
Optimización del coste diario en un tratamiento vitamínico
OPCIÓN B
EJERCICIO 1
(3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro.
Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario?**
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de píldoras de la marca P ingeridas diariamente.
- $y$: número de píldoras de la marca Q ingeridas diariamente.
El objetivo es maximizar el coste total diario. Según el enunciado, cada píldora de la marca P cuesta 6 céntimos y cada una de la marca Q cuesta 8 céntimos. Por tanto, la función objetivo $f(x, y)$ es:
$$f(x, y) = 6x + 8y$$
💡 **Tip:** Identifica siempre qué te piden optimizar (maximizar o minimizar) para construir la función objetivo correctamente.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, establecemos las limitaciones o restricciones basadas en la ingesta máxima permitida:
1. **Hierro:** La cantidad total no debe superar los 240 mg.
$$40x + 10y \le 240 \implies 4x + y \le 24$$
2. **Vitamina B:** La cantidad total no debe superar los 200 mg.
$$10x + 20y \le 200 \implies x + 2y \le 20$$
3. **No negatividad:** No se pueden ingerir cantidades negativas de píldoras.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las desigualdades (dividiendo por 10 en este caso) facilita enormemente los cálculos posteriores y la representación gráfica.
$$\boxed{\begin{cases} 4x + y \le 24 \\ x + 2y \le 20 \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{cases}}$$
Paso 3
Representación de la región factible y cálculo de vértices
Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el área común que cumple todas las inecuaciones.
- Recta $r_1: 4x + y = 24$. Pasa por $(6, 0)$ y $(0, 24)$.
- Recta $r_2: x + 2y = 20$. Pasa por $(20, 0)$ y $(0, 10)$.
Los vértices de la región factible son:
- $O(0, 0)$: Origen de coordenadas.
- $A(6, 0)$: Punto de corte de $r_1$ con el eje $X$.
- $C(0, 10)$: Punto de corte de $r_2$ con el eje $Y$.
- $B$: Punto de intersección entre $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema:
$$\begin{cases} y = 24 - 4x \\ x + 2(24 - 4x) = 20 \end{cases} \implies x + 48 - 8x = 20 \implies -7x = -28 \implies x = 4$$
Sustituyendo $x=4$ en $y = 24 - 4(4) = 8$. Por tanto, **$B(4, 8)$**.
Los vértices son: **$O(0,0), A(6,0), B(4,8)$ y $C(0,10)$**.
Paso 4
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos la función de coste $f(x, y) = 6x + 8y$ en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el valor máximo:
- $f(0, 0) = 6(0) + 8(0) = 0$ céntimos.
- $f(6, 0) = 6(6) + 8(0) = 36$ céntimos.
- $f(4, 8) = 6(4) + 8(8) = 24 + 64 = 88$ céntimos.
- $f(0, 10) = 6(0) + 8(10) = 80$ céntimos.
El valor máximo se alcanza en el punto $(4, 8)$ con un coste de 88 céntimos.
💡 **Tip:** En programación lineal, si la región factible es acotada, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de los vértices del polígono.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{El tratamiento de máximo coste diario consiste en } 4 \text{ píldoras de la marca P y } 8 \text{ de la marca Q, con un coste de } 88 \text{ céntimos.}}$$