Estudio completo de una función polinómica: monotonía, curvatura y tangente

**a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de $f$.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la primera derivada de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$x = 0$** y **$x = 2$**. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos para determinar dónde la función crece o decrece: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline 3x & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & 0 & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$, la función es creciente, y si $f'(x) \lt 0$, es decreciente. Concluimos que: - La función es **creciente** en $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$. - La función es **decreciente** en $(0, 2)$.

Para estudiar la curvatura (concavidad y convexidad), calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 3x^2 - 6x$: $$f''(x) = 6x - 6$$ Igualamos a cero para encontrar los posibles puntos de inflexión: $$6x - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f''(x) = 6x-6 & - & 0 & +\\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava} & \text{Inflexión} & \text{Convexa} \end{array}$$ 💡 **Tip:** Usamos el criterio del signo de la segunda derivada: si $f''(x) \lt 0$ la función es cóncava (hacia abajo $\cap$) y si $f''(x) \gt 0$ es convexa (hacia arriba $\cup$). Concluimos que: - La función es **cóncava** en $(-\infty, 1)$. - La función es **convexa** en $(1, +\infty)$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty); \text{ Decreciente: } (0, 2). \text{ Cóncava: } (-\infty, 1); \text{ Convexa: } (1, +\infty)}$$

**b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos.** Utilizando el estudio de la monotonía del apartado anterior, identificamos los extremos: - En $x = 0$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 2$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f(x)$: Para $x = 0 \implies f(0) = 4 - 3(0)^2 + 0^3 = 4$. Para $x = 2 \implies f(2) = 4 - 3(2)^2 + 2^3 = 4 - 12 + 8 = 0$. 💡 **Tip:** También puedes usar el criterio de la segunda derivada: si $f''(x_0) \lt 0$ es máximo y si $f''(x_0) \gt 0$ es mínimo. Aquí $f''(0) = -6 \lt 0$ (máx) y $f''(2) = 6 \gt 0$ (mín). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 4) \text{ y Mínimo relativo en } (2, 0)}$$

**c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos el punto de tangencia ($a = -1$): $$f(-1) = 4 - 3(-1)^2 + (-1)^3 = 4 - 3 - 1 = 0$$ El punto es **$(-1, 0)$**. 2. Calculamos la pendiente $m = f'(-1)$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 9(x - (-1)) \implies y = 9(x + 1)$$ $$y = 9x + 9$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{y = 9x + 9}$$